已知 $f(x)=e^x\ln x+\cfrac{2e^{x-1} }{x} ,求证:f(x)\gt 1$
已知 $f(x)=ae^x-\ln x-1,证:当a\ge \cfrac{1}{e}时 ,f(x)\ge 0$

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$x_1,x_2\gt 0,且x_1\ne x_2,则有:\sqrt{x_1x_2} \lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} \lt\cfrac{x_1+x_2}{2} $
先证明左边的不等式：
$x_1,x_2\gt 0,且x_1\ne x_2,则有:\sqrt{x_1x_2} \lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} $
$不妨设x_1\gt x_2,\ln x_1-\ln x_2 \lt \cfrac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1x_2} } = \cfrac{x_1}{\sqrt{x_1x_2} }-\cfrac{x_2}{\sqrt{x_1x_2} }=\sqrt{\cfrac{x_1}{x_2} } -\sqrt{\cfrac{x_2}{x_1} }$

$令t=\sqrt{\cfrac{x_1}{x_2} } 换元,比t=\cfrac{x_1}{x_2}好$
$\ln \cfrac{x_1}{x_2} \lt \sqrt{\cfrac{x_1}{x_2} } -\sqrt{\cfrac{x_2}{x_1}}\Rightarrow $
$2\ln t \lt t-\cfrac{1}{t} \quad(t\gt1)$
构造函数$f(t)=t-\cfrac{1}{t}-2\ln t \quad (t\gt 1)$
${f}' (x)=1+\cfrac{1}{t^2}-\cfrac{2}{t} =\cfrac{t^2-2t+1}{t^2}$
${f}' (t)\gt 0\quad (t\gt 1) \therefore f(t)\gt f(1)=0$

再证明右边的不等式：
$\cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} \lt\cfrac{x_1+x_2}{2} $
$不妨设x_1\gt x_2; $
$\cfrac{1}{\ln x_1-\ln x_2} \lt \cfrac{(x_1+x_2)}{2(x_1-x_2)} \Rightarrow $
$\ln x_1-\ln x_2\gt \cfrac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2} \Rightarrow $
$\ln \cfrac{x_1}{x_2}\gt \cfrac{2(\cfrac{x_1}{x_2}-1)}{\cfrac{x_1}{x_2} +1}\quad$ 右式分子分母除以$\cfrac{1}{2} x_2 $
换元令$t=\cfrac{x_1}{x_2}\quad (t\gt 1)\quad{\color{Red} 这便是飘带放缩 }$
$\ln t \gt \cfrac{2t-2}{t+1} =2-\cfrac{4}{t+1} \qquad$
$\Rightarrow \ln t -2+\cfrac{4}{t+1} \gt 0\quad $不去分母构造函数，法一：
构造$f(t)=\ln t+\cfrac{4}{t+1} -2\quad (t\gt 1)$
${f}' (t)=\cfrac{1}{t} -\cfrac{4}{(t+1)^2} =\cfrac{(t+1)^2-4t}{t(t+1)^2} =\cfrac{(t-1)^2}{t(t+1)^2}$
${f}' (t)\gt 0 \quad\therefore f(t)\nearrow f(t)\gt f(1)=0$

去分母再构造函数，法二：
$\ln t \gt \cfrac{2t-2}{t+1} \Rightarrow (t+1)\ln t\gt 2t-2$
构造$g(t)=(t+1)\ln t-2t +2$
${g}' (t)=\ln t+\cfrac{t+1}{t}-2=\ln t +\cfrac{1}{t} -1 $
${g}'' (t)=\cfrac{1}{t}-\cfrac{1}{t^2} =\cfrac{t-1}{t^2} \quad t\gt 1$
${g}'' (t)\gt0\Rightarrow {g}' (t)\nearrow \Rightarrow {g}' (t)\gt {g}' (1)=0$
$\Rightarrow g (t)\nearrow \Rightarrow g(t)\gt g(1)=0$

飘带放缩

$\cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} )\le \ln x\le \cfrac{2(x-1)}{x+1} \quad x\in (0,1]$
$\cfrac{2(x-1)}{x+1} \le \ln x\le \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} ) \quad x\in [1,+\infty)$

最值是定义域范围内全局的值，极值是定义域范围内的值。
极值由导函数的变号零点来判断，
导函数左高右低有极大值，左低右高有极小值。

观察指数函数的泰勒展开式 $\quad e^x =1+x+\cfrac{x^2 }{2!}+\cfrac{x^3 }{3!}+\cfrac{x^4 }{4!}+\cfrac{x^ 5}{5!}+...+\cfrac{x^ n}{n!}\qquad ①$

正弦函数的泰勒展开式$\quad \sin x=x-\cfrac{x^ 3}{3!}+\cfrac{x^ 5 }{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9 }{9!}+...\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad ②$

余弦函数的泰勒展开式$\quad \cos x=1-\cfrac{x^2 }{2!}+\cfrac{x^4 }{4!}-\cfrac{x ^6}{6!}+\cfrac{x^8 }{8!}+...+\cfrac{x ^{2n}}{(2n)！}\qquad ③$

正弦函数两边i 得到 这里也是错误的。$\quad i \sin x=i (x-\cfrac{x^ 3}{3!}+\cfrac{x^ 5 }{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9 }{9!}+...\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})$

$右边=i x- i\cfrac{x^ 3}{3!}+i\cfrac{x^ 5 }{5!}-i\cfrac{x^7 }{7!}+i\cfrac{x^9 }{9!}+... i\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=ix+\cfrac{(ix)^ 3}{3!}+\cfrac{(ix)^ 5 }{5!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^9 }{9!}+...\cfrac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sin(ix)$

以上是错的。$i^2,i^6,i^{10},i^{14},+1换成i^4,i^8,i^{12},i^{16}\quad 得到 1+\cfrac{(ix)^2 }{2!}+\cfrac{(ix)^4 }{4!}+\cfrac{(ix) ^6}{6!}+\cfrac{(ix)^8 }{8!}+...+\cfrac{(ix) ^{2n}}{(2n)！})\quad 此时公式中的底由x变成ix即=\cos ix$

$指数函数e^x中的自变量用ix代换，即有e^{ix}=1+ix+\cfrac{(ix)^2 }{2!}+\cfrac{(ix)^3 }{3!}+\cfrac{(ix)^4 }{4!}+\cfrac{(ix)^ 5}{5!}+...+\cfrac{(ix)^ n}{n!}$

$\sin(ix)+\cos(ix)=e^{ix}$得证。以上有逻辑错误
${\color{Red} ②式两边乘以i,得\quad i\sin x= i(x-\cfrac{x^ 3}{3!}+\cfrac{x^ 5 }{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9 }{9!}+...\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}$
$={\color{Orange} ix+\cfrac{(ix)^ 3}{3!}+\cfrac{(ix)^ 5 }{5!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^9 }{9!}+...\cfrac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
${\color{Red} ③式变形得\quad \cos x=1+\cfrac{(ix)^2 }{2!}+\cfrac{(ix)^4 }{4!}+\cfrac{(ix) ^6}{6!}+\cfrac{(ix)^8 }{8!}+...+\cfrac{(ix) ^{2n}}{(2n)！}\qquad}$

$把e^x中的x换成ix$，故有:$e^{ix}=1+ix+\cfrac{(ix)^2}{2!}+\cfrac{(ix)^3}{3!}+\cfrac{(ix)^4}{4!}+\cfrac{(ix)^5}{5!}+\cfrac{(ix)^6}{6!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^8}{8!}+\cfrac{(ix)^9}{9!}+\cfrac{(ix)^{10}}{10!}\newline+\cfrac{(ix)^{11}}{11!}+...+\cfrac{(ix)^n}{n!}$
$=1+\cfrac{(ix)^2}{2!}+\cfrac{(ix)^4}{4!}+\cfrac{(ix)^6}{6!}+\cfrac{(ix)^8}{8!}+\cfrac{(ix)^{10}}{10!}+...+ix+\cfrac{(ix)^3}{3!}+\cfrac{(ix)^5}{5!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^9}{9!}+\cfrac{(ix)^{11}}{11!}+...$
$=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cfrac{x^8}{8!}-\cfrac{x^{10}}{10!}+ ...\newline+ix+i\cfrac{ i^2 x^3}{3!}+i\cfrac{i^4x^5}{5!}+i\cfrac{i^6x^7}{7!}+i\cfrac{i^8x^9}{9!}+i\cfrac{i^{10}x^{11}}{11!}+...+(-1)^{n+1} i\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cfrac{x^8}{8!}-\cfrac{x^{10}}{10!}+...+(-1)^n \cfrac{(ix)^{2n}}{(2n)!}+\newline i(x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9}{9!}-\cfrac{x^{11}}{11!}+...+(-1)^{n+1} \cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$=\cos x +i \sin x$¹