恒成立题型分析
$已知函数f(x)=\cfrac{ax^2+x-1}{e^x}.2018年新3$
$①求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;$
$②证明:当a\ge 1时,f(x)+e\ge 0\Rightarrow 主元法$
$题型2:已知函数f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1).$
$①当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;$
$②若当x\in (1,+\infty)时,f(x)\gt 0,求a的取值范围.\Rightarrow 必要性探路$
$例1.②s要证\cfrac{ax^2+x-1}{e^x}+e\ge 0$
$即证:G(a)=H(x)=ax^2+x-1+e^{x+1}\ge 0$
$既可以看作关于x的函数,也可以看作关于a的函数,{\color{Red} 变换主元} $
$\because x^2\ge 0,G(a)为关于a的增函数,变换主元法$
$H(x)_{min}=G(a)_{min}=G(1)=x^2+x-1+{\color{Red }e^{x+1}}\ge x^2+x-1+{\color{Red}x+2}=(x+1)^2\ge 0$
${\color{Red}注意!考试要单独证明e^{x+1}\ge x+2 } $

飘带函数及不等式：

${\color{Red} 对数均值不等式\sqrt{x_1x_2} \lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} \lt\cfrac{x_1+x_2}{2}$

$f(x)=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})} $

$g(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}$

${\color{Red} \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} )\le \ln x \le \cfrac{2(x-1)}{x+1} \quad x\in (0,1]} \quad 先证后用$

${\color{Purple} \cfrac{2(x-1)}{x+1}\le \ln x \le \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} ) \quad x\in [1,+\infty) } \quad 先证后用$
飘带放缩及对数均值不等式

证明：${\color{Red} f(x)=\ln x-\cfrac{2(x-1)}{x+1}}$
${f}' (x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{2(x+1-x+1)}{(x+1)^2}= \cfrac{1}{x}-\cfrac{4}{(x+1)^2}$
$=\cfrac{(x+1)^2-4x}{x(x+1)^2}=\cfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\ge 0$
${\color{Violet} \because \quad } f(x)\nearrow ,f(1)=0$
$\Rightarrow {\color{Red} x\in (0,1] } ,\quad f(x)\le 0\quad \ln x\le \cfrac{2(x-1)}{x+1};$
${\color{Green} x\in [1,+\infty)},\quad f(x)\ge 0\quad \ln x\ge \cfrac{2(x-1)}{x+1}$
$再证左边不等式：{\color{Purple} g(x)=\ln x- \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} )}$
${g}' (x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{2}(1+\cfrac{1}{x^2} )= - \cfrac{1}{2}(1+\cfrac{1}{x^2}-\frac{2}{x})= - \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{(x-1)^2}{x^2}$
${g}' (x)\le 0,\quad g(x)\searrow\qquad g(1)=0$
$\Rightarrow {\color{Red} x\in (0,1]} ,\quad g(x)\ge 0, \quad \ln x \ge \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} )$
${\color{Green} x\in [1,+\infty)}, \quad g(x)\le 0, \quad \ln x \le \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x} )$

$例1、已知x\gt 0,证明(e^x-1)\ln (x+1)\gt x^2$
$解：先进行放缩e^x\ge 1+x,显然是不够精度的，e^x\ge 1+x+\cfrac{1}{2}x^2$
$得，即证(x+\cfrac{1}{2}x^2)\ln (x+1)\gt x^2$
$即证:(1+\cfrac{1}{2}x)\ln (x+1)\gt x$
$令t=x+1,t\gt 1,x=t-1即证 \cfrac{1}{2}(t+1)\ln t\gt t-1$
$即证:\ln t \gt \cfrac{2(t-1)}{t+1}\quad x\in (1,+\infty)$
${\color{Red} 再让我们来看看飘带不等式与对数不等式的联系： }$
$\sqrt{x_1x_2}\lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2 } \lt \cfrac{x_1+x_2}{2}$
$若要证：\cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2 } \lt \cfrac{x_1+x_2}{2}$
$设x_1\gt x_2,即证\quad\cfrac{x_1-x_2}{x_1+x_2} \lt \cfrac{\ln x_1-\ln x_2 }{2}$
$齐次化上式：得到\quad \cfrac{\cfrac{x_1}{x_2}-1 }{\cfrac{x_1}{x_2}+1 } \lt \cfrac{\ln \cfrac{x_1}{x_2} }{2}$
$令t=\cfrac{x_1}{x_2}\quad t\gt 1换元得,\quad{\color{Red}\cfrac{2(t-1)}{t+1}\lt \ln t }$
${\color{Red} 这便是飘带不等式．}$
$若要证:\sqrt{x_1x_2}\lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2 }$
$设x_1\gt x_2,即证\quad\ln x_1-\ln x_2 \lt \cfrac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1x_2}}$
$齐次化上式：得到\ln \cfrac{x_1}{x_2}\lt \cfrac{\cfrac{x_1}{x_2}-1}{\sqrt{\cfrac{x_1}{x_2}}}$
$令t=\sqrt{\cfrac{x_1}{x_2}},\quad t\gt 1换元得，\quad 2\ln t\lt \cfrac{t^2-1}{t}=t-\cfrac{1}{t}$
$即证:\quad {\color{Red}\ln t\lt \cfrac{1}{2}\cdot(t-\cfrac{1}{t}) }$
${\color{Green} 妥妥的飘带不等式．}$

$例2.已知函数f(x)=\ln x -ax^2+(2-a)x$
$(1).求单调性；$
$(2).设f(x)有两个零点,是x_1,x_2,求证x_1+x_2\gt \cfrac{2}{a}$
$(3).设x_0=\cfrac{x_1+x_2}{2},求证:{f}' (x_0)\lt 0$
https://one.free.nf/index.php/archives/200/ $\quad例6$
$f(x)=\ln x-ax^2+(2-a)x$
${f}'(x)=\cfrac{1}{x}-2ax+2-a=\cfrac{-2ax^2+(2-a)x+1}{x}$
$=\cfrac{(2x+1)(-ax+1)}{x},2x+1\gt 0,只需考虑-ax+1即可$
$①a\le 0,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow ;$
$②a\gt 0,x\in (0,\cfrac{1}{a}), {f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow ;$
$x\in (\cfrac{1}{a},+\infty), {f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow ;$
$f(x)\le f(\cfrac{1}{a})=\ln \cfrac{1}{a}-\cfrac{1}{a}+(2-a)\times\cfrac{1}{a}=\cfrac{1}{a}-\ln a-1$
$设g(a)=\cfrac{1}{a}-\ln a-1,g(a)\searrow 且g(1)=0,所以a\in (0,1)g(a)\gt0,$
$(2).设f(x)有两个零点,是x_1,x_2,求证x_1+x_2\gt \cfrac{2}{a}$
$证：0\lt a \lt 1时有两个零点$
$\ln x_1=ax_1^2-(2-a)x_1\quad ①$
$\ln x_2=ax_2^2-(2-a)x_2\quad ②$
$\Rightarrow ①- ②=\ln\cfrac{x_1}{x_2}=a(x_1^2-x_2^2)-(2-a)(x_1-x2) $
$a(x_1^2-x_2^2+x_1-x2) =\ln\cfrac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)$
$\cfrac{1}{a} =\cfrac{x_1^2-x_2^2+x_1-x_2}{\ln\cfrac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)}$
$要证x_1+x_2\gt \cfrac{2}{a}即证x_1+x_2\gt \cfrac{2(x_1^2-x_2^2+x_1-x_2)}{\ln\cfrac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)} $
$\Leftrightarrow \ln\cfrac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)\gt \cfrac{2(x_1^2-x_2^2+x_1-x_2)}{x_1+x_2}$
$\Leftrightarrow\ln\cfrac{x_1}{x_2}\gt \cfrac{2(x_1^2-x_2^2+x_1-x_2)}{x_1+x_2}-2(x_1-x_2)=\cfrac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}$

$例3.已知函数f(x)=\cfrac{\ln x}{x},若f(x)=a有两个不同的零点，试证明：$
$1.\quad 单调性；2.\quad a的取值范围；3.\quad\cfrac{2}{a} \lt x_1+x_2\lt \cfrac{-2\ln a}{a},$
$4.\quad e^2\lt x_1x_2\lt \cfrac{1}{a^2};\quad 5.\quad 2x_1+x_2\lt \cfrac{3}{a} 6.\quad\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}\gt \cfrac{2}{a}$
$7.\quad x_1x_2\gt \cfrac{e}{a}, \quad 8.\quad x_1+x_2\cfrac{3}{a}-e\quad 9.\quad\ln x_1+\ln x_2\gt 1-\ln a或x_1+x_2\gt \cfrac{1-\ln a}{a}$
$10.\quad x_1^2x_2+x_1x_2^2\gt 2 \quad 11.\quad x_1\gt \cfrac{1+\sqrt{1-ax} }{a} \quad 12.\quad x_2\lt \cfrac{1-\sqrt{1-ax} }{a}$

$证：f(x)=a有两个不同的零点\Rightarrow \begin{cases} \quad \ln x_1=ax_1\quad① \\\quad \ln x_2=ax_2\quad②\end{cases}，两式相减最常用！相加何时用到？$
$①-②,\ln x_1-\ln x_2=a(x_1-x_2) \Rightarrow {\color{Red} \cfrac{1}{a}=\cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} ，对数均值不等式}$
$证3：\quad\cfrac{2}{a} \lt x_1+x_2\lt \cfrac{-2\ln a}{a},和4.\quad e^2\lt x_1x_2\lt \cfrac{1}{a^2};$
$先看4式左右两边求对数，得2\lt \ln x_1+\ln x_2\lt -2\ln a,①+②,得\ln x_1+\ln x_2=a(x_1+x_2)$
${\color{Green}可见3.\quad\cfrac{2}{a} \lt x_1+x_2\lt \cfrac{-2\ln a}{a},4.\quad e^2\lt x_1x_2\lt \cfrac{1}{a^2};式是同一命题 }$
$我们先证3式左边不等式:x_1+x_2\gt \cfrac{2}{a}(消a)\quad \Rightarrow x_1+x_2\gt \cfrac{2}{a}=\cfrac{2(x_1-x_2)}{\ln \cfrac{x_1}{x_2} }$
$令x_1\gt x_2,即证 \ln \cfrac{x_1}{x_2}\gt \cfrac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}{\quad\color{Red} 交换位置前对数均值，交换后是飘带} $
$设t=\cfrac{x_1}{x_2}\gt 1,即证\ln t\gt \cfrac{2(t-1)}{t+1}$
又是妥妥的飘带不等式;
$再证4式右侧不等式：x_1x_2\lt \cfrac{1}{a^2}$
$x_1x_2\lt \cfrac{1}{a^2},两边开方，得\sqrt{x_1x_2}\lt \cfrac{1}{a} =\cfrac{x_1-x_2}{\ln \cfrac{x_1}{x_2} }$
$\sqrt{x_1x_2}\lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln \cfrac{x_1}{x_2} }\Rightarrow \sqrt{x_1x_2}\lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}$
$①+②,\ln x_1+\ln x_2=a(x_1+x_2) \gt \cfrac{2}{a}\times a=2$
要证6：$\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}\gt \cfrac{2}{a}$
$\cfrac{1}{a}=\cfrac{x_1-x_2}{\ln \cfrac{x_1}{x_2} }$
$即证：\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}\gt 2\times \cfrac{x_1-x_2}{\ln \cfrac{x_1}{x_2} }$
$令x_1\gt x_2\Rightarrow 2\ln \cfrac{x_1}{x_2}\lt (x_1-x_2)(\cfrac{1}{x_1}+\cfrac{1}{x_2}) =\cfrac{x_1}{x_2}-\cfrac{x_2}{x_1}$
$设t=\cfrac{x_1}{x_2},2\ln t\lt t-\cfrac{1}{t}\quad t\gt 1$
这里有错误！
以上难度高二同学掌握足矣！

指对切线放缩

${\color{Green} e^x必会不等式\Rightarrow \begin{cases} e^x\ge x+1\quad x=0取＝\\ e^x\ge ex\quad x=1取＝\end{cases}}$
${\color{Red} \ln x必会不等式\Rightarrow \begin{cases} 1-\cfrac{1}{x}\le \ln x\le x-1\quad x=1取＝\\ \ln x\le \cfrac{x}{e}\quad x=e取＝\end{cases}}$
${\color{Purple} 常见的三角放缩：} \sin x \lt x \lt \tan x,x\in(0,\cfrac{\pi}{2})$
其他放缩：
$\ln x \lt \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x} }(x\gt1)\qquad \ln x \gt \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x} }(0\lt x\lt1)$
$\ln x \lt \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x}) (x\gt1)\qquad \ln x \gt \cfrac{1}{2}(x-\cfrac{1}{x}) (0\lt x\lt1)$
$\ln x \gt \cfrac{2(x-1)}{x+1}) (x\gt1)\qquad \ln x \lt \cfrac{2(x-1)}{x+1}) (0\lt x\lt1)$
$\ln x \gt -\cfrac{1}{2}x^2+2x-\cfrac{3}{2} (x\gt1)\quad \ln x \lt -\cfrac{1}{2}x^2+2x-\cfrac{3}{2} (0\lt x\lt1)$
${\color{Red} e^x\ge 1+x+\cfrac{1}{2}x^2 (x\ge 0) } $
例1：$证明不等式e^x-\ln (x+2)\gt 0恒成立$

$例2：x\gt 0時，證明ex^2-x\ln x\lt xe^x+\cfrac{1}{e}$
$ex^2-x\ln x\lt xe^x+\cfrac{1}{e}\Leftrightarrow e^x+\cfrac{1}{ex} \gt ex-\ln x$
$即证 e^x+\cfrac{1}{ex} \ge ex{\color{Green} +\cfrac{1}{ex} } \gt ex{\color{Green} -\ln x} =ex+\ln \cfrac{1}{x}$
$\cfrac{\ln x}{x}\le \cfrac{1}{e}\Rightarrow \cfrac{x}{e}\ge \ln x \Rightarrow {\color{Green} \cfrac{1}{ex} \ge \ln \cfrac{1}{x}}$

$例3：对于\forall x\gt 0,不等式e^x+x^2-(e+1)x+\cfrac{e}{x}\gt 2成立$
$\because e^x\ge ex$
$\Rightarrow {\color{Green} e^x} +x^2-(e+1)x+\cfrac{e}{x}\ge {\color{Green} ex} +x^2-(e+1)x+\cfrac{e}{x}\gt 2$
$x^2-x+\cfrac{e}{x}\gt 2$

$x^2-2x+x+\cfrac{e}{x}=(x-1)^2-1+ x+\cfrac{e}{x}\ge 2\sqrt{e} -1\gt 2$

例4：$e^x+\cfrac{1}{x}\ge 2-\ln x+x^2+(e-2)x$
用${\color{Green}e^x }+\cfrac{1}{x} \ge {\color{Green} ex+(x-1)^2} +\cfrac{1}{x}\ge 2-\ln x+x^2+(e-2)x$

用曲线代替直线放缩：

函数的周期性与对称性

口诀：同周期，异对称，异异心，双对称出周期

看$x$:同周异对; 看$y,f$同号轴对称,$f$异号中心对称

周期性：

$(1)f(x+a)=f(x+b)\Rightarrow T=|a-b|;$

$(2)f(x+a)=\frac{m}{f(x)}(m\ne 0)\Leftrightarrow f(x)f(x+a)=m\Rightarrow T=2a$

$(3)f(x+a)=-f(x)+c\Leftrightarrow f(x)+f(x+a)=c\Rightarrow T=2a;$

$(4)f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\Rightarrow T=2a;$

$(5)f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\Rightarrow T=4a;$

对称性：

$(1)f(a+x)=f(a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(2)f(x)=f(2a-x)\Rightarrow f(x)关于x=a对称;$

$(3)f(a+x)=f(b-x)\Rightarrow f(x)关于x=\frac{a+b}{2}对称$

$(4)f(a+x)=-f(a-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(a-x)=0$则$f(x)关于(a,0)$对称;

$(5)f(x)=-f(2a-x)\Longleftrightarrow f(x)+f(2a-x)=0则f(x)关于(a,0)对称;$

$(6)f(a+x)=-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=0则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,0)对称;$

$(7)f(a+x)=2c-f(b-x)\Longleftrightarrow f(a+x)+f(b-x)=2c则f(x)关于(\frac{a+b}{2} ,c)对称;$

$(8)f(x+a)是偶函数\Leftrightarrow f(x)关于x=a对称;$（复合函数的对称性）

$(9)f(x+a)是奇函数\Leftrightarrow f(x)关于(a,0)对称;$（复合函数的对称性）

1、函数$f(x)对\forall x\in \mathbb{R},满足f(x+2)=\frac{1}{f(x)} ，若f(1)=-5,则f(f(5))=(\qquad)$

$A.-5\quad B.5.\qquad C.\frac{1}{5}\qquad D.-\frac{1}{5}$

$2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),若f(1)=1,则f(3)-f(4)=(\qquad)$

$A.-1\quad B.1\qquad C.-2\qquad D.2$

$3、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2),若当-3\le x \le 0时，f(x)=6^{-x},则f(919)=(\qquad)$

如果理解?$f(1+x)=f(1-x),\begin{cases}f(1)\xrightarrow{左称x}f(1+x)\\f(1)\xrightarrow{右移x} f(1-x)\end{cases}\Rightarrow f(x)关于x=1对称$

如果区分轴对称和中心对称？去掉常数$\Rightarrow$奇函数，偶函数。$f(x+2)的图像关于x=-2对称， \Rightarrow f(x)关于x=0$对称；

$f(x)为奇函数， 且f(x)=f(2-x)\Rightarrow f(x)的T=4$
双对称出周期
$(1)若函数图像关于x=a，x=b轴对称，则T=2|b-a|；$
$(2)若函数图像关于(a,0)，(b,0)中心对称，则T=2|b-a|；$
$(3)若函数图像关于x=a和(b,0)对称，则T=4|b-a|;$
巳知函数$f(x)满足y=f(-x)和f(x+2)$都是偶函数，且$f(1)=1，则f(-1)+f(7)=$( )
$A.0,B.1;C.2;D.3$
已知函数$f(x)=\ln x+\ln(2-x),则$（）
$A.f(x)在(0,2)单调递增。\quad B. f(x)在(0，2)单调递减。\quad C.y=f(x)的图象关于x=1对称。\quad D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称。$
两个函数的对称性
$f(x)与-f(x)关于x$轴对称。
$f(x)与f(-x)与关于y$轴对称。
$f(x)与f(2a-x)与关于x=a$轴对称。
$f(x)与2b-f(2a-x)关于(a，b)$对称。
$f(x)与2a-f(x)与关于y=a$轴对称。
$f(a-x)与f(x-b)与关于x=\frac{a+b}{2}$对称。

常用的几个抽象函数模型：
${\color{Red} ①f(x+y)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=kx;\qquad} $
${\color{Green} ②f(x+y)=f(x)+f(y)+c\Leftrightarrow f(x)=kx+b;\qquad}$
${\color{Red} ③f(xy)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=\log_{a}{\left | x \right | } ;\qquad} $
${\color{Green} ④f(x+y)=f(x)f(y)\Leftrightarrow y=a^x} $
${\color{Red}⑤ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)} {\color{Green} \Leftrightarrow y=\cos \omega x} $
${\color{Red}⑥ f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)} {\color{Green} \Leftrightarrow y=A\cos \omega x} $
${\color{Green} ㈦⑦f(x+y）=f(x)+f(y)+2xy\Leftrightarrow f(x)=x^2} $
${\color{Peach} ⑧f(x+y）=f(x)f(\cfrac{\pi}{2}-y)+f(y)f(\cfrac{\pi}{2}-x) \Longrightarrow f(x)=\sin x} $
${\color{Purple} ⑨f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y)\Leftrightarrow \sin^2x-\sin^2y=\sin (x+y)\sin (x-y)}$正弦平方差公式
请宝贝们，证明一下正弦平方差定理，在右边往左边证。

设$f(x)=A\cos \omega x\Rightarrow f(x+y)=A(\cos\omega x\cos \omega y-\sin \omega x\sin \omega y);\quad $
$f(x-y)=A(\cos\omega x\cos \omega y+\sin \omega x\sin \omega y)\Rightarrow 左边=f(x+y)+f(x-y)=2A\cos\omega x\cos \omega y$
$右边=f(x)f(y)=A^2\cos\omega x\cos \omega y\mapsto 2A=A^2,A=2$
$f(1)=2\cos \omega =1\Rightarrow \omega=\cfrac{\pi}{3} \Rightarrow f(x)=2\cos \cfrac{\pi}{3} x
$
$2(\cos \cfrac{\pi}{3} +\cos \cfrac{2\pi}{3}+\cos \cfrac{3\pi}{3}+\cos \cfrac{4\pi}{3})=-3$

构造：$f(x)=x^2\log \left | x \right | \qquad $
$f(xy)=(xy)^2\log \left | (xy) \right | =x^2y^2(\log \left | x \right |+\left |y \right |)=y^2f(x)+x^2f(y)$

同第一题$f(x)=2\cos \omega$

左边$＝\log xy+m=\log x+\log y+m;\quad $
右边$=f(x)+f(y)-1=\log x+m+\log y+m-1; \quad $
$m=2m-1\Rightarrow m=1$
$f(4)=\log_{a}{4} +1=2\Rightarrow a=4;\therefore f(x)=\log_{4}{x} +1$
$\therefore f(\cfrac{1}{2} )=\log_{4}{\cfrac{1}{2}} +1=\log_{2^2}{2^{-1}} +1=-\cfrac{1}{2}+1=\cfrac{1}{2}$

设$f(x)=\cos \omega x\because f(4)=\cos 4\omega =-1\Rightarrow \omega =\cfrac{\pi}{4} $
$\therefore f(x)=\cos \cfrac{\pi}{4} x$

$\sin x$

设$f(x)=ax^2+bx+c,故左边＝f(x)+f(y)=ax^2+bx+c+ay^2+by+c;\quad $
右边＝$f(x+y)-xy-1=a(x+y)^2+b(x+y)+c-xy-1=ax^2+ay^2+2axy+b(x+y)+c-xy-1；$
左边＝右边；$\begin{cases} c-1=2c\\2a-1=0\end{cases}$
$a=\cfrac{1}{2},c=-1,f(x) =\cfrac{1}{2}x^2+bx-1,f(1)=1,\Rightarrow b=\cfrac{3}{2}$
$f(x) =\cfrac{1}{2}x^2+\cfrac{3}{2}x-1$

设$f(x)=\sin \omega x,f(1)=\sin \omega =1 \Rightarrow \omega =\cfrac{\pi}{2}$
$f(2x+1)为偶函数，故f(2x+1)=f(-2x+1),即f(x)关于x=1对称；$
$f(0)=0,sin为奇函数，关于(2,0)对称，T=\cfrac{2\pi}{\omega}=4$