函数的增减性、奇偶性运算

①、奇函数$\pm$奇函数＝奇函数，偶函数$\pm$偶函数＝偶函数

②、奇函数$\cdot$ 奇函数＝偶函数；偶函数$\cdot$偶函数＝偶函数；偶函数 $\cdot$奇函数＝奇函数

③、奇函数+偶函数＝非奇非偶

④、复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外。内是指内层函数。(如下解释)

若$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，则$f(f(x))和g(f(x))$均为偶函数;$f(g(x))$是偶函数，$g(g(x))$是奇函数

①、如果奇函数在$x=0$处有定义，则$f(x)=0$

②、奇函数在原点两侧单调性相同，偶函数在原点两侧单调性相反。

作业：用奇函数、偶函数的定义证明上式②奇$\cdot$ 奇＝偶。

增减性运算：

设$f(x)和g(x)$增函数

①、$f(x)+g(x)$是增函数；

②、$-f(x)$是减函数；

③、$\cfrac{1}{f(x)}$是减函数；$(f(x)\gt 0)$

④、$f(x)\cdot g(x) \quad(f(x)\gt 0,g(x)>0)$

⑤、复合函数的单调性是,同增异减。

函数的图形变换

掌握函数图形变换，将打开解题方法新的一道门，这道门让你变得更加得心应手。*

知识点概要：

1、 平移变换；

2、 伸缩变换；

3、 翻转变换；

4、 对称变换；(其中的轴对称变换又叫反射变换，对称轴相当于平面镜)

注意：本文假定$a>0$

知识点一：平移变换性【考点】

水平平移：左加右减

$f(x)向左平移a个单位 ⇔f(x+a)$

$f(x)向右平移a个单位⇔f(x−a)$

竖直平移：上加下减

$f(x)向上平移a个单位⇔f(x)+a$

$f(x)向下平移a个单位⇔f(x)−a$

例： $f(x)=2^{3x}$如何移动得到如下函数

（1） $f(x)=2^{3x}+1$ 沿纵轴上移1单位

（2）$f(x)=2^{3x}−2$ 沿纵轴下移2单位

（3） $f(x)=2^{3(x−1)} $沿横轴右移1单位

（4） $f(x)=2^{3(x+1)}$ 沿横轴左移1单位

（5） $f(x)=2^{3x−6}$ 沿横轴右移2单位【易错】提取公因数$3(x-2)$

知识点二：伸缩变换【三角函数用的较多】

水平伸缩：$ f(x)⇒f(ax)$ 注意：函数与纵轴的交点不进行伸长或缩短

$0<a<1⇒$水平伸长为原来的$ \frac{1}{a} 倍$

a>1⇒ 水平缩短为原来的$\frac{1}{a}$倍

竖直伸缩：$f(x)⇒af(x)$

$0<a<1⇒$竖直伸长为原来的$a倍$

$a>1⇒$竖直缩短为原来的$a倍$

例： f(x)=sin⁡2x 如何伸缩得到如下函数:

（1）$f(x)=\sin ⁡x$ 水平伸长一倍,周期由$\pi变至2\pi$变大，伸长；变小则缩短。

（2）$f(x)=\sin⁡ 4x$ 水平缩小为原来的一半，周期由$\pi变至\frac{\pi}{2}$变小了一半。

（3） $f(x)=2\sin ⁡2x$ 竖直伸长一倍

（4） $f(x)=\frac{1}{2}sin⁡2x $竖直缩小为原来的一半

知识点三：翻转变换【考点】(翻转变换与绝对值有关)

$y=f(x)\Rightarrow y=|f(x)|$ ：下翻上,下不保留。

$y=f(x)\Rightarrow y=f(|x|)$：右翻左，右保留。

例：假设 $f(x)=(x−1)^2−1 $，请画出:

（1）$ g(x)=(|x|−1)^2−1$

（2） $h(x)=|(x−1)^2−1|$

解： f(x) 的图象为

(1)$g(x)=(|x|−1)^2−1$右翻左，如下图：（右侧不变，原左侧不保留，被右侧镜像复制代替）

（2） $h(x)=|(x−1)^2−1|$ 下翻上，如下图所示：（绿色部份）下不保留。

知识点四：对称变换【高效解题】

口诀：关于x轴对称变y，关于y轴对称变x，关于原点对称x和y都改变

（1）$ y=f(x) 与 y=−f(x)$ 关于x轴对称

（2） $y=f(x) 与 y=f(−x) $关于y 轴对称

（3） $y=f(x) 与 y=−f(−x)$ 关于原点对称

（4） $y=f(x) 与 y=f^{−1}(x)$ 关于y=x 对称

（5） $y=f(x) 与 y=−f^{−1}(−x)$ 关于y=−x对称(可忽略，不常用）

（6） $y=f(x) 与 y=f(2a−x) $关于 x=a 对称

例：已知 $y=2^x$请求出一下情况的解析式

（1） 关于x轴对称

（2） 关于y轴对称

（3） 关于原点对称

（4） 关于y=x轴对称

解析：（1） 关于x轴对称变y , $−y=2^x⇒y=−2^x$

（2） 关于y轴对称变x， $y=2^{−x}$

（3） 关于原点对称x和y都改变， $−y=2^{-x} ⇒y=−2^{−x}$

（4） x 与y对调即可， $x=2^y 两边取为底的对数\Rightarrow y=\log_{2}{x} $

知识点五：综合作图练习【高效解题】

例：请画出 $y=\frac{2−x}{x−1}$ 的图形

解：$ y=\frac{2−x}{x−1}=\frac{−(x−1)+1}{x−1}=\frac{1}{x−1}−1$

作图方式：$ y=\frac{1}{x}⇒y=\frac{1}{x−1}⇒y=\frac{1}{x−1}−1$

第一步: $y=\frac{1}{x}$

第二步:$y=\frac{1}{x}$中的x变成x-1，右移动1个单位，就是$ y=\frac{1}{x−1}$ 的图

第三步:$y=\frac{1}{x−1}$中向下平移一个单位，就是 $y=\frac{1}{x−1}−1$ 的图

直线恒过定点问题

$y=kx$恒过原点$(0,0)$，就是当$k$取任意值时，它总经过原点$(0,0)$
$y=kx+1$恒过点$(0,1)$,就是当$k$取任意值时，它总经过定点$(0,1)$
$\Rightarrow 就是让k$这个参数在式子失去了作用。
例1.已知直线的方程为$x+my-2m+6=0$,则该直线恒过定点$(\qquad)$
$x+my-2m+6=0\Rightarrow m(y-2)+x+6=0$
让参数m失去作用就是$y-2=0\Rightarrow y=2,x+6=0\Rightarrow x=-6$定点为$(-6,2)$

例2.已知直线$l:(m+1)x+(2m-1)y+m-2=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$m(x+2y+1)+x-y-2=0\Rightarrow \begin{cases} x+2y+1=0\x-y-2=0
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1\y=-1
\end{cases}$

例3.已知直线$l:(m+n)x+(2m-n)y+5m-n=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$\Rightarrow m(x+2y+5)+n(x-y+1)=0\Rightarrow m\times 0+n\times 0=0$

$\Rightarrow \begin{cases} x+2y+5=0\\x-y+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\y=-2\end{cases}$

分离参数法：

若已知方程是含有一个参数$m$的直线系方程，则我们可以把系数中的$m$分离出来，化为$f(x,y)+mg(x,y)=0$的形式。再由$\begin{cases}
f(x,y)=0\g(x,y)=0\end{cases}$**解出$x和y$的值**，即得定点坐标。

例4.已知抛物线$T:y=ax^2(a>0)与直线l$交于A,C两点，且$\angle AOC=90^ {\circ}$,求证：直线l过定点Ｍ;

二次函数恒过定点

例：函数$y=x^2+(2-m)x+m$的图像恒过一点，求该点坐标。

$y=x^2+(2-m)x+m$
$y=x^2+2x+m(1-x)$

$\begin{cases} 1-x=0\\y=x^2+2x\end{cases}\Rightarrow (1,3)$

指数型函数过定点问题：

例：函数$y=a^{x+2}+1(a>0,且a\ne1)$的图像恒过的定点是$(-2,2)$

就是与参数a无数的点，$a^0=1,y=a^x$恒过定点$(0,1)$

令指数部分为０,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

对数型函数过定点问题：

例题：函数$y=\log_{a}{(2x+1)} -2(a\gt 0,且a\ne1)$恒过

令真数部分为１,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

关于诱导公式的双层理解

$\sin (\pi +x)=-\sin x$

$\cos (\pi +x)= -\cos x$​

1、偶不变，符号看象限

2、周期函数左移半周期，函数值相反，移一周期相等。

$\sin (\pi -x)=\sin x$

$\cos (\pi -x)= -\cos x$

1、偶不变，符号看象限

2、互补公式

3、$\sin 异对称，x=\frac{\pi }{2};\cos x 异异心(\frac{\pi }{2},0)$

同周期,异对称，异异心，双对称出周期

1、下列函数中，值域是$(0,+\infty)$的函数是$(\quad D)$
$A.y=\frac{1}{5^{-x}+1}\quad B.y=\sqrt{1-2^x}\quad C.y=\sqrt{(\frac{1}{2})^x-1}\quad D.y=(\frac{1}{3} )^{1-x}$
2、已知$f(x)=2x^3-6x^2+a(a是常数),在[-2,2]$上有最大值3，那么在$[-2,2]上的最小值是(\quad )$
$A.-5 \quad B. -11 \quad C.-29 \quad D. -37$
3、已知函数 $f(x)=x^2-2x+3在[0,m]$上有最大值3，最小值2,则$m$的取值范围是$(\quad )$
$A.[1,+\infty) \quad B. [0,2] \quad C.(-\infty,2] \quad D. [1,2]$
4、若函数$f(x)=\log_{a}{x} (0<a<1)在[a,2a]$上有最大值是最小值的3倍,则$a=(\quad )$
$A.\frac{\sqrt{2} }{4} \quad B. \frac{\sqrt{2} }{2} \quad C.\frac{1}{4} \quad D. \frac{1}{2}$
5、函数$f(x)=a^x+\log_{a}{x+1} 在[0,1]$上最大值与最小值之和为$a,,则a=(\quad )$
$A.\frac{1 }{4} \quad B. \frac{1}{2} \quad C.2 \quad D. 4$
6、若$x^2+y^2=1,则\frac{y-2}{x-1}$的最小值是$(\qquad) ,\cfrac{x}{3} +\cfrac{y}{4} 的最大值(\qquad)$
7、已知函数$y=\lg{(ax^2+2x+1)}$的值域为$\mathbb {R},$则实数$a$的取值范围是$(\qquad)$
8、定义在$\mathbb{R}上的函数f(x)$满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y,\in \mathbb{R}),f(1)=2,则f(0)=(\qquad),f(-2)=(\quad)$
9、若$f(x+1)=(\frac{1}{3})^{x^2-1},则f(x)=(\qquad),$函数$f(x) 的值域(\qquad)$
10、$\forall x,y \in \mathbb{R}$有满足$f(x+y)+f(x-y)=2xy,若f(0)\ne 0,$则f(0)=$(\qquad),f(1)-f(-1)=(\quad)$
11、函数$f(x)=(x^2+x)^{-1}的值域为(\qquad)$
12、函数$f(x)=-x^2+4x-7,x\in(0,3]的值域为(\qquad)$
13、已知函数$g(\sqrt{x}+1 )=x+\sqrt{x} -6，则g(x)值域是(\qquad)$
14、函数$g(x)=\sqrt{-x^2-6x-5}的值域是(\qquad)$
15、函数$f(x)=2x+4\sqrt{1-x}的值域是(\qquad)$
16、求下列函数的值域：
(1)$f(x)=\frac{e^x-1}{{e^x+1}}\qquad$(2)$f(x)=0.25^{x^2-2x}\qquad$(3)$y=3x-x^3\qquad$
(4)$y=\frac{x^2+3x+1}{x+1}(x+1\gt 0)\qquad$ (5)$y=\frac{1-x}{2x+5} \qquad$
(6)$y=\frac{1-x}{2x+5} (1<x\le 2)\qquad$(7)$y=\frac{x^2-2x-3}{x^2+x-12}\qquad$
(8)$y=\frac{\cos x}{2+\sin x}\qquad$(9)$f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-4x+13}$
17、已知$\frac{x^2}{4} +y^2=1,求\frac{y-2}{x+3}$的最大值和最小值。
18、设$y=f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的减函数，并满足$f(xy)=f(x)+f(y),f(\frac{1}{3} )=1$.
(1)求$f(1)$的值;
(2)若$\exists m,使得f(m)=2,求m$的值;
(3)如果$f(x)+f(2-x)<2,求x$的取值范围.
19、设$y=f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的增函数，且并$f(\frac{x}{y} )=f(x)-f(y),f(\frac{1}{3} )=1.$
(1)求$f(1)$的值;
(2)解不等式,$f(x-1)\lt 0;$
(3)若$f(2)=1$,解不等式$f(x+3)-f(\frac{1}{x} )<2.$
20、若二次函数f(x)满足$f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.$
(1)求$f(x)$的解析式.
(2)设函数$g(x)=2x+m,若f(x)>g(x)$在$\mathbb{R}$上恒成立,求实数$m$的取值范围.