直线恒过定点问题

$y=kx$恒过原点$(0,0)$，就是当$k$取任意值时，它总经过原点$(0,0)$
$y=kx+1$恒过点$(0,1)$,就是当$k$取任意值时，它总经过定点$(0,1)$
$\Rightarrow 就是让k$这个参数在式子失去了作用。
例1.已知直线的方程为$x+my-2m+6=0$,则该直线恒过定点$(\qquad)$
$x+my-2m+6=0\Rightarrow m(y-2)+x+6=0$
让参数m失去作用就是$y-2=0\Rightarrow y=2,x+6=0\Rightarrow x=-6$定点为$(-6,2)$

例2.已知直线$l:(m+1)x+(2m-1)y+m-2=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$m(x+2y+1)+x-y-2=0\Rightarrow \begin{cases} x+2y+1=0\x-y-2=0
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1\y=-1
\end{cases}$

例3.已知直线$l:(m+n)x+(2m-n)y+5m-n=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$

$\Rightarrow m(x+2y+5)+n(x-y+1)=0\Rightarrow m\times 0+n\times 0=0$

$\Rightarrow \begin{cases} x+2y+5=0\\x-y+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\y=-2\end{cases}$

分离参数法：

若已知方程是含有一个参数$m$的直线系方程，则我们可以把系数中的$m$分离出来，化为$f(x,y)+mg(x,y)=0$的形式。再由$\begin{cases}
f(x,y)=0\g(x,y)=0\end{cases}$**解出$x和y$的值**，即得定点坐标。

例4.已知抛物线$T:y=ax^2(a>0)与直线l$交于A,C两点，且$\angle AOC=90^ {\circ}$,求证：直线l过定点Ｍ;

二次函数恒过定点

例：函数$y=x^2+(2-m)x+m$的图像恒过一点，求该点坐标。

$y=x^2+(2-m)x+m$
$y=x^2+2x+m(1-x)$

$\begin{cases} 1-x=0\\y=x^2+2x\end{cases}\Rightarrow (1,3)$

指数型函数过定点问题：

例：函数$y=a^{x+2}+1(a>0,且a\ne1)$的图像恒过的定点是$(-2,2)$

就是与参数a无数的点，$a^0=1,y=a^x$恒过定点$(0,1)$

令指数部分为０,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

对数型函数过定点问题：

例题：函数$y=\log_{a}{(2x+1)} -2(a\gt 0,且a\ne1)$恒过

令真数部分为１,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标

关于诱导公式的双层理解

$\sin (\pi +x)=-\sin x$

$\cos (\pi +x)= -\cos x$​

1、偶不变，符号看象限

2、周期函数左移半周期，函数值相反，移一周期相等。

$\sin (\pi -x)=\sin x$

$\cos (\pi -x)= -\cos x$

1、偶不变，符号看象限

2、互补公式

3、$\sin 异对称，x=\frac{\pi }{2};\cos x 异异心(\frac{\pi }{2},0)$

同周期,异对称，异异心，双对称出周期

1、下列函数中，值域是$(0,+\infty)$的函数是$(\quad D)$
$A.y=\frac{1}{5^{-x}+1}\quad B.y=\sqrt{1-2^x}\quad C.y=\sqrt{(\frac{1}{2})^x-1}\quad D.y=(\frac{1}{3} )^{1-x}$
2、已知$f(x)=2x^3-6x^2+a(a是常数),在[-2,2]$上有最大值3，那么在$[-2,2]上的最小值是(\quad )$
$A.-5 \quad B. -11 \quad C.-29 \quad D. -37$
3、已知函数 $f(x)=x^2-2x+3在[0,m]$上有最大值3，最小值2,则$m$的取值范围是$(\quad )$
$A.[1,+\infty) \quad B. [0,2] \quad C.(-\infty,2] \quad D. [1,2]$
4、若函数$f(x)=\log_{a}{x} (0<a<1)在[a,2a]$上有最大值是最小值的3倍,则$a=(\quad )$
$A.\frac{\sqrt{2} }{4} \quad B. \frac{\sqrt{2} }{2} \quad C.\frac{1}{4} \quad D. \frac{1}{2}$
5、函数$f(x)=a^x+\log_{a}{x+1} 在[0,1]$上最大值与最小值之和为$a,,则a=(\quad )$
$A.\frac{1 }{4} \quad B. \frac{1}{2} \quad C.2 \quad D. 4$
6、若$x^2+y^2=1,则\frac{y-2}{x-1}$的最小值是$(\qquad) ,\cfrac{x}{3} +\cfrac{y}{4} 的最大值(\qquad)$
7、已知函数$y=\lg{(ax^2+2x+1)}$的值域为$\mathbb {R},$则实数$a$的取值范围是$(\qquad)$
8、定义在$\mathbb{R}上的函数f(x)$满足$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y,\in \mathbb{R}),f(1)=2,则f(0)=(\qquad),f(-2)=(\quad)$
9、若$f(x+1)=(\frac{1}{3})^{x^2-1},则f(x)=(\qquad),$函数$f(x) 的值域(\qquad)$
10、$\forall x,y \in \mathbb{R}$有满足$f(x+y)+f(x-y)=2xy,若f(0)\ne 0,$则f(0)=$(\qquad),f(1)-f(-1)=(\quad)$
11、函数$f(x)=(x^2+x)^{-1}的值域为(\qquad)$
12、函数$f(x)=-x^2+4x-7,x\in(0,3]的值域为(\qquad)$
13、已知函数$g(\sqrt{x}+1 )=x+\sqrt{x} -6，则g(x)值域是(\qquad)$
14、函数$g(x)=\sqrt{-x^2-6x-5}的值域是(\qquad)$
15、函数$f(x)=2x+4\sqrt{1-x}的值域是(\qquad)$
16、求下列函数的值域：
(1)$f(x)=\frac{e^x-1}{{e^x+1}}\qquad$(2)$f(x)=0.25^{x^2-2x}\qquad$(3)$y=3x-x^3\qquad$
(4)$y=\frac{x^2+3x+1}{x+1}(x+1\gt 0)\qquad$ (5)$y=\frac{1-x}{2x+5} \qquad$
(6)$y=\frac{1-x}{2x+5} (1<x\le 2)\qquad$(7)$y=\frac{x^2-2x-3}{x^2+x-12}\qquad$
(8)$y=\frac{\cos x}{2+\sin x}\qquad$(9)$f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-4x+13}$
17、已知$\frac{x^2}{4} +y^2=1,求\frac{y-2}{x+3}$的最大值和最小值。
18、设$y=f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的减函数，并满足$f(xy)=f(x)+f(y),f(\frac{1}{3} )=1$.
(1)求$f(1)$的值;
(2)若$\exists m,使得f(m)=2,求m$的值;
(3)如果$f(x)+f(2-x)<2,求x$的取值范围.
19、设$y=f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的增函数，且并$f(\frac{x}{y} )=f(x)-f(y),f(\frac{1}{3} )=1.$
(1)求$f(1)$的值;
(2)解不等式,$f(x-1)\lt 0;$
(3)若$f(2)=1$,解不等式$f(x+3)-f(\frac{1}{x} )<2.$
20、若二次函数f(x)满足$f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.$
(1)求$f(x)$的解析式.
(2)设函数$g(x)=2x+m,若f(x)>g(x)$在$\mathbb{R}$上恒成立,求实数$m$的取值范围.

含参变量恒成立问题

1、$已知a \in \mathbb{R}已知函数f(x)=\log_{2}{(\frac{1}{x}+a)}.$
$①当a=5时，解不等式f(x)\gt 0;$
$②若关于x的方程f(x)-\log_{2}{[(a-4)x+2a-5]} =0$的解集中恰好有一个元素，求$a$的取值范围;
$③设a\gt 0,若\forall t \in [\frac{1}{2},1]$函数f(x) 在区间$[t,1+t]$上最大值与最小值的差不超过1，求$a$的取值范围。

$2、函数y=\log_{\frac{1}{3}}{(x^2-ax+3)}$ 在[1,2]恒为正数，$a$取值范围（ ）。
$A、2\sqrt{2} <a<2\sqrt{3} $ $\quad B、2\sqrt{2} <a<\frac{7}{2}$ $\quad C、3 <a<\frac{7}{2}$ $\quad D、3 <a<2\sqrt{3}$

3、已知$f(x)=\log_{\sqrt{3} }{(3x-a)},$当点P(x,y)在函数y=f(x)图像上时，点$Ｑ(3x,\frac{y}{2})在y=g(x)$图像上．
$①求y=g(x)的表达式$
$②若A(x+a,y_1),B(x,y_2),C(3+a,y_2)$为函数$y=g(x)$图像上的三点,且满足$2y_2=y_1+y_3$的实数$x$有且只有两个不同的值,求实数$a$的取值范围．

4、已知$g(x)=ax^2-2 a x+1+b(a\neq 0,b\lt 1)$在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设$f(x)=\frac{g(x)}{x}.$
$①求a,b的值$。
$②不等式f(2^x)-k\cdot 2^x\ge0$在$x\in [-1,1]上恒成立，求实数k$的取值范围。
$③方程f(|2^x-1|)+k(\frac{2}{|2^x-1|}-3)$有三个不同的实数根，求实数$k$的取值范围。

$5、已知f(x)=x^2+(m+1)x+\lg{|m+2|} (m\neq -2,m\in \mathbb{R})$.
$①若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x),求g(x)和h(x)$
$②若f(x)和g(x)在区间[\lg|m+2|,(m+1)^2]$上都单调递减，求实数$m$的取值范围。
$③在②条件下， f(1)和\frac{1}{6}的大小。$

6、已知$m\gt 0,n\gt 0,\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1,$若不等式$m+n\ge -x^2+4x+a$对已知的$m,n及\forall x \in \mathbb{R}$恒成立，求实数$a$的最大值。

7、已知不等式$\quad ax^2+4x+a\gt 1-2x^2$对于一切实数$x$恒成立，求实数$a$的取值范围。

8、试确定实数$x$的值，使得不等式$(a+1)x^2-(3a+1)x-2(2a+1)\gt 0$对于$\forall a\in \mathbb{R}$恒成立。

9、已知关于$x$的不等式$ax+\frac{3}{x}\le 2a$在区间$(0,+\infty)$有解，求实数$a$的取值范围。

**分四步，一、设点设直线，二、联立用韦达，三、三点共线用斜率关系列等式，四、根据极点刻意去配凑

用极点三角，计算出过n=1,配凑（n-1）的因式

拾之九八
例一：北京卷:已知椭圆$C:\cfrac{x^2}{8}+\cfrac{y^2}{4}=1$,与y轴的交点为A,B点A位于B的上方），直线 $y=kx+4$与曲线C交于不同的两点$M,N,连接AM,BN交于点G$，求证:点$G$纵坐标为定值。
预判：(0,4)点的极线为 $\cfrac{0\cdot x}{8} +\cfrac{4y}{4}=1\Rightarrow y=1\quad G点在此准线上$

一、设点、设直线：
设三点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),G(m,n),A(0,2),B(0,-2)直线l_{MN}:y=kx+4$
二、联立方程写韦达；
$\begin{cases} y=kx+4\\x^2+2y^2-8=0\end{cases}\Rightarrow 2(kx+4)^2+x^2-8=0\Rightarrow (2k^2+1)x^2+16kx+24=0$
$x_1+x_2=\cfrac{-16k}{2k^2+1} \quad x_1x_2=\frac{24}{2k^2+1}$
三、三点共线用斜率列等式，
MBG三点共线：$\cfrac{y_1+2}{x_1} =\cfrac{n+2}{m}\quad(1)$
NAG三点共线：$\cfrac{y_2-2}{x_2} =\cfrac{n-2}{m} \quad(2)$
两式相除，得：$\cfrac{y_1+2}{x_1} \cdot \cfrac{x_2}{y_2-2} =\cfrac{n+2}{n-2}$
四、交叉相乘再按需要配凑：
$(n+2)x_1(y_2-2)=(n-2)x_2(y_1+2)\Rightarrow (n+2)x_1(kx_2+2)=(n-2)x_2(kx_1+6)$
$\Rightarrow (n+2)kx_1x_2+2(n+2)x_1=(n-2)kx_2x_1+6(n-2)x_2$
$\Rightarrow 4kx_1x_2+2({\color{Red}n-1 }+3)x_1-6({\color{Red} n-1}-1)x_2=0$
$\Rightarrow 4kx_1x_2+2{\color{Red} (n-1)}(x_1-3x_2)+6(x_1+x_2)=0$
$\Rightarrow 4k\cdot \cfrac{24}{2k^2+1}+2{\color{Red} (n-1)}(x_1-3x_2)+6\cdot \cfrac{-16k}{2k^2+1} =0\Rightarrow 2(n-1)(x_1-3x_2)=0$

$\Rightarrow n=1$ G点定直线$y=1$上

例2：江苏卷例题：$\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{5} =1$左右顶点为A,B,设过点$T(t,m)$的直线$TA,TB$与椭圆分别交于$m(x_1,y_1),N(x_2,y_2),其中 m\gt 0,y_1\gt 0,y_2\lt 0.设t=9,求证直线MN必过x轴上的定点。$

定点G(n,0)的极线为$x=9,\frac{nx}{9} +\frac{0\cdot y}{5} =1 \Leftrightarrow x=9\Rightarrow n=1刻意构造n-1$
一、设点设直线：

设$M(x_1,y_1), N(x_2,y_2), 设直线MN过{\color{Red}\cancel{定点}} 点G(n,0),l_{MN}=ty+n \quad A(-3,0),B(3,)$·

二、联立方程
$\begin{cases} x=ty+n\\5x^2+9y^2-5\times9=0\end{cases}\Rightarrow 5(ty+n)^2+9y^2-5\times9=0$

$\Rightarrow (5t^2+9)y^2+10nt\cdot y+5\times(n^2-9)=0$
$y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
三、三点共线斜率有等式
$k_{AM}=\cfrac{y_1}{x_1+3} =\cfrac{m}{12}=k_{TA} \quad(1)$
$k_{BN}=\cfrac{y_2}{x_2-3} =\cfrac{m}{6}=k_{TB}\quad (2)$
两式相除，得：${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}\quad *$
$y_2(x_1+3)=2y_1(x_2-3）\Rightarrow x_1y2+3y_2=2x_2y_1-6y_1$

第四步：刻意构造(n-1)的因式分解式
从上式可以看出，消去x比消y简单一些。
$\Rightarrow (ty_1+n)y_2+3y_2=2(ty_2+n)y_1-6y_1$
$\Rightarrow ty_1y_2+2(n-3)y_1-(n+3)y_2=0$
$\Rightarrow ty_1y_2+2(n-1-2)y_1-(n-1+4)y_2=0$
$ty_1y_2+(n-1)(2y_1-y_2)-4(y_1+y_2)=0$
$\Rightarrow t\cdot\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)-4\cdot\cfrac{-10nt}{5t^2+9}=0$
$\Rightarrow \cfrac{5t(n^2+8n-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)=0$
$\Rightarrow (n-1)\cdot[\cfrac{5t(n+9)}{5t^2+9}+(2y_1-y_2)]=0$
$\Rightarrow n-1=0\therefore$n=1,直线过定点G(1,0)

对第四步的处理还有以下两种方法：

法二、
${\color{Red} **利用椭圆第三定义对非对称韦达定理处理**}$
利用椭圆第三定义对非对称韦达定理处理
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}$
$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2} =-\frac{5}{9}$
$k_{AM}=\cfrac{y_1}{x_1+3} =-\frac{5}{9} \cdot\cfrac{1}{k_{BM}} =-\cfrac{5}{9}\cdot \cfrac{x_1-3}{y_1}$
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =-\cfrac{5}{9}\cdot \cfrac{x_1-3}{y_1}\cdot\cfrac{x_2-3}{y_2}=\cfrac{1}{2}}$
$\cfrac{x_1-3}{y_1}\cdot\cfrac{x_2-3}{y_2}=\cfrac{x_1x_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1y_2}$
$x_1x_2=(ty_1+n)(ty_2+n)=t^2y_1y_2+nt(y_1+y_2)+n^2$
$-3(x_1+x_2)=-3(ty_1+n+ny_2+n)=-3t(y_1+y_2)-6n$
$分 子=t^2y_1y_2+t(n-3)(y_1+y_2)+n^2-6n+9$
$\cfrac{x_1x_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1y_2}=\cfrac{t^2y_1y_2+t(n-3)(y_1+y_2)+(n-3)^2}{y_1y_2}$
$=\cfrac{t^2\cdot 5(n^2-9)+t(n-3)(-10nt)+(n-3)^2(5t^2+9)}{5(n^2-9)}$
$\because \quad y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
$\cfrac{5n^2t^2-5\cdot 9t^2-10n^2t^2+30nt^2+5n^2t^2-30nt^2+9\cdot 5t^2+9(n-3)^2}{5(n^2-9)}$
$=\cfrac{9(n-3)^2}{5(n+3)（n-3)}=-\cfrac{9}{5}\cdot \cfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \cfrac{n-3}{n+3}=-\cfrac{1}{2} \Rightarrow n=1$

法三、韦达定理的和积互化处理非对称韦达定理。
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}=$
$\cfrac{y_1(ty_2+n-3)}{y_2(ty_1+n+3)}=\cfrac{ty_1y_2+(n-3)y_1 }{ty_1y_2+(n+3)y_2 }$
$\because \quad y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
令$y_1y_2=\lambda \cdot(y_1+y_2)\Rightarrow \lambda =\cfrac{n^2-9}{-2nt}$
$\cfrac{ty_1y_2+(n-3)y_1 }{ty_1y_2+(n+3)y_2 }=\cfrac{t\cdot \cfrac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n-3)y_1 }{t\cdot \cfrac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n+3)y_2 }$
=$\cfrac{(n^2-9)\cdot(y_1+y_2)-2n(n-3)y_1 }{(n^2-9)(y_1+y_2)-2n(n+3)y_2 }=\cfrac{(n-3)\cdot[(n+3)(y_1+y_2)-2ny_1 ]}{(n+3)\cdot[(n-3)(y_1+y_2)-2ny_2] }$
$=\cfrac{(n-3)\cdot[y_1(3-n)+y_2(n+3) ]}{(n+3)\cdot[y_1(n-3)-y_2(n+3)] }=-\cfrac{n-3}{n+3}=\cfrac{1}{2}$
$\therefore n=1$