三角形角平分线定理：

这是平面几何的古老定理，是平面几何最基本的定理之一，但也是最先从初中平面几何删除的内容之一。

三角形的内角平分线分对边成两线段，两线段长度之比等于相邻的两边的长度之比(内角）

AD是ΔABC的∠A的平分线，则有
$\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}$

法一：过点Ｃ作角平分线的平行线，即可证得。
法二：用面积相等证

若三角形两边不相等，则其相应外角的平分线外分对边的两线段与相应邻边成比例。外角

ΔABC中，AB≠AC，AD是外角∠CAE的平分线，外分边BC成线段BD和CD，则有：
$\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}$
法一：过点Ｃ作角平分线的平行线，即可证得。
法二：用面积相等证

塞瓦定理（Ceva's theorem）（赛娃）

三角形内三线交于一点，则有以下关系：

$\cfrac{AF}{FB} \cdot \cfrac{BD}{DC} \cdot \cfrac{CE}{EA}=1$

${\color{Red} 等高的两个三角形面积之比=两三角形底边之比,和差比定理} $
$\cfrac{BD}{DC}=\cfrac{S_{\bigtriangleup ABD}}{S_{\bigtriangleup ADC}}=\cfrac{S_{\bigtriangleup GBD}}{S_{\bigtriangleup GDC}}= \cfrac{S_{\bigtriangleup ABD}-S_{\bigtriangleup GBD}}{S_{\bigtriangleup ADC}-S_{\bigtriangleup GDC}}=\cfrac{S_{\bigtriangleup GAB}}{S_{\bigtriangleup GAC}}$

同理$\cfrac{CE}{EA}=\cfrac{S_{\bigtriangleup CBE}}{S_{\bigtriangleup ABE}}=\cfrac{S_{\bigtriangleup CGE}}{S_{\bigtriangleup AGE}}= \cfrac{S_{\bigtriangleup CBE}-S_{\bigtriangleup CGE}}{S_{\bigtriangleup ABE}-S_{\bigtriangleup AGE}}=\cfrac{S_{\bigtriangleup GBC}}{S_{\bigtriangleup GAB}}$

同理$\cfrac{AF}{FB}=\cfrac{S_{\bigtriangleup CAF}}{S_{\bigtriangleup CBF}}=\cfrac{S_{\bigtriangleup GAF}}{S_{\bigtriangleup GBF}}= \cfrac{S_{\bigtriangleup CAF}-S_{\bigtriangleup GAF}}{S_{\bigtriangleup CBF}-S_{\bigtriangleup GBF}}=\cfrac{S_{\bigtriangleup GAC}}{S_{\bigtriangleup GBC}}$

$三式相乘，得\cfrac{AF}{FB} \cdot \cfrac{BD}{DC} \cdot \cfrac{CE}{EA}=1$

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）

过三角形一边上的点做一直线，分别与其余两边或其延长线所截，则满足一下关系：

$\cfrac{AF}{FB} \cdot \cfrac{BD}{DC} \cdot \cfrac{CE}{EA}=1$​

证明：
$\cfrac{AF}{FB}=\cfrac{S_{\triangle DAF}}{S_{\triangle DFB}} =\cfrac{S_{\triangle EAF}}{S_{\triangle EFB}} =\cfrac{S_{\triangle DAE}}{S_{\triangle DEB}}$
$\cfrac{BD}{DC}=\cfrac{S_{\triangle EBD}}{S_{\triangle EDC}}$
$\cfrac{CE}{EA}=\cfrac{S_{\triangle CED}}{S_{\triangle EDA}}$

• 两个定理的联系

证明过程体现了两个定理的相似性。实际上这两个定理互为「对偶定理」，即只要证明其中一个，另一个自然成立。这是因为在射影平面中，确定一条直线和确定一个点，都需要三个坐标（齐次坐标），于是面空间与点空间形成了自然的同构，而这样的同构映射保持结合性不变，所谓结合性，就是指「点在线上」、「线过某点」这样的结合关系。

对偶图形包含两个方面：

1. 图元素互换：「点」与「线」互换；
2. 结合性互换：「共点」与「共线」互换。

它们俩的逆定理也是成立的，这根据三角形的唯一性可以得到。

你从来没有对这些现象好奇过吗：

为什么三角形三条中线过同一点？
为什么三角形三条高线过同一点？
为什么三角形三条角平分线过同一点？
为什么三角形垂直平分线过同一点？
……

而这些情况，都可以收纳到塞瓦定理中，多么美妙！