优化圆锥曲线利用韦达定理解决问题的计算
提高效率，简化计算
缺点：无
适用范围
能用韦达定理做的题目
出现 $(x_1-k)(x_2-k)$形式
总结
此方法并不能做出不会做的题目，能用这个方法做的题目，用韦达定理也一定能做。
但是简化了大量计算量，提高正确率。
对于二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$，若存在两个零点（$\Delta\gt 0)不妨设x_1,x_2是f(x)$的零点。则$f(x)$
可以等价表示为 $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$。
我们得到，对于一个二次函数，我们有两种表示方法。
即 $f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
进一步得到 $(x_1-x)(x_2-x)=x^2+\cfrac{b}{a}+\cfrac{c}{a}$，我们不妨称之为“点乘双根式”
应用
这个方法的应用很简单。一句话概括就是，看到类似 $(x_1-k)(x_2-k)$的式子，我们就可以用点乘双根式来快速求解了。
这样的问题，通常出现在斜率相乘，还向量点乘！
例1.$已知正数a,bv满足a+b=2,求\frac{1}{a} +\frac{1}{ab} 的最小值$
$\frac{1}{a} +\frac{1}{ab}=\frac{a+b}{2a} +\frac{(a+b)^2}{4ab}$齐次化。
例2.重庆市巴蜀中学2023年高二下学期末。对于任意的正实数$a,b,c$,满足$b+c=1,则\frac{3ab^2+a}{bc}+\frac{12}{a+1}的最小值为(12\sqrt2-6)$
$\frac{3ab^2+a}{bc}+\frac{12}{a+1}=a\cdot\frac{3b^2+1}{bc} +\frac{12}{a+1}$
$\frac{3ab^2+a}{bc}+\frac{12}{a+1}=a\cdot\frac{3b^2+1}{bc} +\frac{12}{a+1}$
$=a\cdot \frac{4b^2+c^2+2bc}{bc}+ \frac{12}{a+1}$
$=a\cdot (\frac{4b}{c} +\frac{c}{b} +2)+ \frac{12}{a+1}$
$\ge a\cdot (2\sqrt{\frac{4b}{c}\frac{c}{b}} +2)+ \frac{12}{a+1} $当且仅当$c=2b$时，取=
=$6a+ \frac{12}{a+1} =6(a+1)+\frac{12}{a+1}-6$
$\ge 2\sqrt{6(a+1)\frac{12}{a+1} }-6 $当且仅当$a=\sqrt2-1$时取=
$=12\sqrt{2}-6$
补充题：已知$a>0,b>0,c>0,且b+c=\sqrt{6},则\frac{ac^2+2a}{bc} +\frac{4}{a+1}$ 的最小值是($\qquad$) *10-10
解：原式=$\cfrac{a(c^2+2)}{bc}+\cfrac{4}{a+1} $
$\cfrac{c^2+2}{bc}=\cfrac{c^2+\frac{(b+c)^2}{3} }{bc}= \cfrac{4c^2+2bc+b^2}{3bc}=\cfrac{2}{3}+\cfrac{4c}{3b} +\cfrac{b}{3c}+\ge =\cfrac{2}{3}+2\sqrt{\cfrac{4}{9} }=2$
$原式=2a+\cfrac{4}{a+1} =2(a+1)+\cfrac{4}{a+1}-2\ge 2\sqrt{2(a+1)\cdot \cfrac{4}{a+1} } -2=4\sqrt{2}-2$
$当且仅当\begin{cases}\cfrac{4c}{3b} &=\cfrac{b}{3c}; \\ a+1&=\cfrac{2}{a+1}\end{cases}$取等号
补充题2:$a>0,b>0,求\cfrac{ab+b}{a^2+b^2+1} 的最大值\qquad$非齐次,10-10
原式$=\cfrac{b(a+1)}{a^2+b^2+1} =\cfrac{a+1}{\cfrac{a^2+1}{b} +b} \le \cfrac{a+1}{2\sqrt{a^2+1} } =\cfrac{1}{2}\cfrac{a+1}{\sqrt{a^2+1} }= \cfrac{1}{2} \cdot \sqrt{\cfrac{a^2+2a+1}{a^2+1} } $
$=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1+\frac{2a}{a^2+1} } \le \frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{2a}{2a}}=\frac{\sqrt{2} }{2} $
补充题3：$x>0,y>0,且满足\cfrac{1}{x+3y} +\cfrac{1}{2x+y}=1,求x+y最小值$
$x+y=\cfrac{1}{5} (\cfrac{1}{x+3y} +\cfrac{2}{4x+2y} )(x+3y+4x+2y)$=$x+y=\frac{1}{5} [3+\frac{2(x+3y)}{4x+2y} +\frac{4x+2y}{x+3y} ]\ge\frac{1}{5}(3+2\sqrt{2} )$
当且仅当$\begin{cases}\frac{1}{x+3y} +\frac{1}{2x+y} =1\\\frac{2x+6y}{4x+2y} =\frac{4x+2y}{x+3y}\end{cases}$时取等
例3.$已知a,b\in R^+,a+b=1,则:$
$(1)\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+1}$的最小值是____
$(2)\frac{1}{a}(b+\frac{1}{b})$的最小值是____
$(3)\frac{3a^2+1}{ab}$的最小值是____
例４.已知$a,b$为正实数$,a+2b=1,则\cfrac{b^2+a+1}{2ab}$ 的最小值为（$\qquad$)
例5.已知$b>a>0,2a+b=ab,则\frac{4}{2a-1} +\frac{1}{b-2} $的最小值为($\qquad$) (10-11)
解：由已知$2a+b=ab\Rightarrow b=\frac{2a}{a-1} , 原式=\frac{4}{2a-1} +\frac{1}{\frac{2a}{a-1} -2} =\frac{4}{2a-1}+\frac{a-1}{2}=\frac{4}{2a-1}+\frac{2a-1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$
例6：已知$a,b$为正实数$a+b+3=ab$ 则$a+b$的最小值为（$\qquad$) ,求谁保留谁
由$a+b+3=ab\Rightarrow \begin{cases} a+b&=ab-3\\ab&\le \frac{(a+b)^2}{4} \end{cases}\quad \Rightarrow a+b\le \frac{(a+b)^2}{4} -3$，换元设$ t=a+b, 得4t\le t^2-12\Rightarrow t^2-4t-12\ge0 \Rightarrow (t-6)(t+2)\ge0,故t\ge 6$
例7：已知$a,b$为正实数$ab+a+b=8$,下列说法正确的是（ )
$A.ab的最大值是2; \quad B.a+b的最小值是4; \quad C.a+2b的最小值是6\sqrt{2} -3 \quad D.\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b}的最小值为\frac{1}{2}$
解：$ B.解：由ab+a+b=8\Rightarrow a(b+1)+b+1=9\Rightarrow (a+1)(b+1)=9\Rightarrow (a+1)(b+1)\le \frac{(a+1+b+1)^2}{4}$
$(a+1+b+1)^2\ge 36 \Rightarrow a+b+2\ge 6 $
$A,ab+a+b\ge ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow 8\ge ab +2\sqrt{ab} 换元，令\sqrt{ab} =t,得t^2+2t-8\le0$
$(t+4)(t-2)\le 0\Rightarrow t\gt0,t+4\gt 4,t\ge 2,t^2=ab\ge 4$
$C.a+2b=(a+1)+2(b+1)-3\ge2\sqrt{2(a+1)(b+1)}-3=2\sqrt{2\times 9}-3=6\sqrt{2} -3 $
$D.ab+a+b=8\Rightarrow a(b+1)+b=8\Rightarrow
\frac{1}{a(b+1)} +\frac{1}{b} =2+\frac{b}{a(b+1)} +\frac{a(b+1)}{b}\ge 4$
$8[\frac{1}{a(b+1)} +\frac{1}{b} ]\ge 4$
$已知函数f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{8}{1-\cos x} (0<x<\pi),则f(x)的最小值是(\quad)$
齐次化操作
$\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{1+2\cos ^2\frac{x}{2}-1 } =\tan \frac{x}{2}$
$\frac{8}{1-\cos x}=\frac{8(\sin^2\frac{x}{2}+\cos ^2\frac{x}{2}) }{1-(1-2\sin^2\frac{x}{2})}=4(1+\frac{1}{\tan^2\frac{x}{2}})$
$f(x)=\tan \frac{x}{2}+\frac{4}{\tan^2\frac{x}{2}}+4=\frac{1}{2}\tan\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\tan\frac{x}{2}+\frac{4}{\tan^2\frac{x}{2}}+4\ge 3\sqrt[3]{\frac{\tan \frac{x}{2} }{2}\frac{\tan \frac{x}{2} }{2} \frac{4}{\tan ^2\frac{x}{2} } }+4$
$ \because \tan\frac{x}{2} >0,当\frac{1}{2}\tan\frac{x}{2} =4\tan^2\frac{x}{2} 时 ，即\tan\frac{x}{2}=2时，f(x)_{min}=7$
$作业：3\sin ^2x+2\sin x\cos x=1$
1、适用情景:题目中，出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和$k_1+k_2$或斜率乘积中$k_1×k_2$为定值时，优先考虑使用齐次化的技巧。
2、用法：必须先把该定点平移至原点的位置，然后将两个动点所成的直线假设为截距式$mx+ny=1$，再联立即可。
3、讨论$mx+ny=1$,该直线可以表示不过原点的所有直线。
2020山东：已知椭圆$C:\cfrac{x^2}{6}+ \cfrac{y^2}{3}=1过点A(2,1).点M,N在C上，且AM\perp AN,AD\perp MN,D$为垂足.证明存在定点$Q,使得|DQ|为定值.$
$分析： 显然D点是动点，定点G，且|DQ|为定值{\color{Red} \Leftrightarrow } Q点为圆心，|DQ|为半径的圆$
$点A左移2个单位，下移1个,平移到原点A^{'}(0,0)$
设$M^{'}(x_1,y_1),N^{'}(x_2,y_2)$
$ \frac{(x+2)^2}{6}+\frac{(y+1)^2}{3}=1$
$l_{M'N'}:\quad mx+ny=1$✔👍这步很重要，是齐次化的关键！一次项乘以它变成二次项。
$x^2+2y^2+4x+4y=0$下一步化齐次化，$4(x+y)乘以mx+ny$
$x^2+2y^2+4(x+y)(mx+ny)=0$
$(4n+2)y^2+(4m+4n)xy+(4m+1)x^2=0$两边同除以$x^2$,令$t=\frac{y}{x}$
$(4n+2)t^2+(4m+4n)t+(4m+1)=0$
$\because AM\perp AN\therefore k_{A'M'}k_{A'N'}=-1$
即$ t_1t_2=\frac{y_1}{x_1} \frac{y_2}{x_2}=\frac{4m+1}{4n+2}=-1$
$4m+1=-4n-2\Leftrightarrow m(-\frac{4}{3})+n(-\frac{4}{3} )=1$
$ \therefore M'N'过定点B'(-\frac{4}{3} ,-\frac{4}{3})$
$ \therefore MN过定点B(\frac{2}{3} ,-\frac{1}{3} )$
$\because AD\perp MN\therefore \angle ADB=90^{\circ}$
$\therefore D在AB为直径的圆上。Q即圆心，AB中点Q(\frac{4}{3} ,\frac{1}{3})$
$\therefore |DQ|=\frac{|AB|}{2} =\frac{2\sqrt{2} }{3}$
$法二：齐次但不平移$
$设直线l_{MN}:m(x-2)+n(y-1)=1\quad(直线斜率存在,且不过A(2,1))$
$\Rightarrow
{\color{Red} (x-2+2)^2+2(y-1+1)^2-6=0\Rightarrow (x-2)^2+4(x-2)+2(y-1)^2+4(y-1)=0 }$
$齐次化：{\color{Green} (x-2)^2+4(x-2){\color{Red} [m(x-2)+n(y-1)]} +2(y-1)^2+4(y-1){\color{Red} [m(x-2)+n(y-1)]} =0}$
$ 两边除以(x-2)^2;得(4n+2)\cdot (\cfrac{y-1}{x-2})^2+(4m+4n) \cdot \cfrac{y-1}{x-2})+4m+1=0$
${\color{Red} \cfrac{y_1-1}{x_1-2}\cdot \cfrac{y_2-1}{x_2-2}=-1=\cfrac{4m+1}{4n+2}}$
2015年陕西卷题目：如图，椭圆E:$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$经过A(0,-1),且离心率为$\frac{\sqrt2}{2}.$
(1)求椭圆E的方程；$\cfrac{x^2}{2}+y^2=1$
(2)经过点$(1,1)$,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点$P,Q$(均异于点A),证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
$分析设AB两点坐标为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),要证K_{AP}+K_{BP}=\cfrac{y_1-1}{x_1} +\cfrac{y_2-1}{x_2} =2$
$故要对直线及曲线进行变形$
$解：x^2+2y^2-2=0\Rightarrow x^2+2({\color{Red} y+1} -1)^2-2=0\Rightarrow $
$x^2+2(y+1)^2-4(y+1)=0$
$设过点(1,1)的直线方程为：mx+n(y+1)=1(直线斜率存在，且不过(0,1))$
${\color{Red} \Rightarrow m+2n=1,m=1-2n}$
$齐次化：一次项乘上mx+n(y+1)，得x^2+2(y+1)^2-4(y+1)[x^2+2(y+1)^2-4(y+1)]=0$
$\Rightarrow (2-4n)(y+1)^2+4mx(y+1)+x^2=0,两边除以x^2$
$(2-4n)\cdot (\cfrac{y+1}{x})^2-4m \cdot \cfrac{y+1}{x}+1=0$
${\color{Red} \Rightarrow \cfrac{y_1-1}{x_1} +\cfrac{y_2-1}{x_2}=\cfrac{4m}{2-4n}＝\cfrac{4(1-2n)}{2-4n}=2 }$
2020年重庆北碚区一诊：在平面直角坐标系$XOY$中，已知椭圆$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$$的焦距为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2} }{2},$右顶点为A。
(1)求该椭圆方程；$\frac{x^2}{2} +y^2 ＝1$
(2)过$$D(\sqrt{2},-\sqrt{2})$$作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证直线AP,AQ的斜率之和为定值。（为$1$）
解(2)法一：$\begin{cases} y=kx+m\\b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \end{cases}$$\Rightarrow (b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2)=0$
$x_1+x_2=\frac{-2kma^2}{b^2+a^2m^2} $
$x_1x_2=\frac{a^2(m^2-b^2)}{b^2+a^2k^2}$（记熟这两个结果，考试直接用）
$A点(\sqrt{2},0),设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),即证\frac{y_1}{x_1-\sqrt{2}}+\frac{y_2}{x_2-\sqrt{2}}=(1)为定值$
为简化计算换元 令$t=x-\sqrt{2},故x=t+\sqrt{2}，只需要证\frac{y_1}{t_1}+\frac{y_2}{t_2}为定值 $
$直线l_{PQ}:y=k(x-\sqrt{2})-\sqrt{2} =kt-\sqrt{2},$
$x^2+2y^2-2=0,换元后(t+\sqrt2)^2+2(kt-\sqrt2)^2-2=0$
$(2k^2+1)t^2-(4\sqrt2k-2\sqrt2)t+4=0$
$t_1+t_2=\frac{4\sqrt2k-2\sqrt2}{2k^2+1}$
$t_1t_2=\frac{4}{2k^2+1}$
$\frac{y_1}{t_1}+\frac{y_2}{t_2}=\frac{t_2y_1+t_1y_2}{t_1t_2}$
$y_1=kt_1-\sqrt{2}$
$y_2=kt_2-\sqrt{2}$
$t_2y_1+t_1y_2=kt_1t_2-\sqrt{2}(t_1+t_2)$
$\frac{y_1}{t_1}+\frac{y_2}{t_2}=\frac{t_2y_1+t_1y_2}{t_1t_2}=\frac{2kt_1t_2-\sqrt{2}(t_1+t_2) }{t_1t_2}=2k-\frac{\sqrt{2}(t_1+t_2) }{t_1t_2}=2k-\frac{\sqrt{2}(4\sqrt{2}k-2\sqrt{2})}{4}=1$
法二：平移齐次法
平移不改变直线的斜率，将图形整体左移两个单位，目的让A点坐标从 $(\sqrt2,0),移动到A^{'}(0,0)$
这样的话，$k_{AP}+k_{AQ}就变成\frac{y_1}{x_1} +\frac{y_2}{x_2}$,相应地，D,P,Q,椭圆也左移两个单位。
右顶点A坐标为$(\sqrt2,0),$将椭圆$\frac{x^2}{2} +y^2 ＝1$整体向左移$\sqrt2$个单位，顶点变$A^{'}为(0,0),$椭圆方程变为$(x+\sqrt2)^2+2y^2-2=0,D点变为D^{'}(0,-\sqrt2)$
设过D'点的直线方程为$mx+ny=1$
$ mx+ny=1$
$(x+\sqrt2)^2+2y^2-2=0$
$x^2+2y^2+2\sqrt{2} x=0$
$x^2+2y^2+2\sqrt{2} x\cdot (mx+ny)=0\Rightarrow $
$(2\sqrt{2}m+1)x^2+2y^2+2\sqrt{2} nxy=0$
两边除以$x^2,得2(\frac{y}{x})^2+2\sqrt{2} n\frac{y}{x}+(1+2\sqrt{2} m) =0$
$\frac{y_1}{x_1} +\frac{y_2}{x_2} =-\frac{2\sqrt{2}n }{2},直线经过D^{’}(0,-\sqrt{2}),代入mx+ny=1,解得n=-\frac{1}{\sqrt{2}}$
故$\frac{y_1}{x_1} +\frac{y_2}{x_2} =1$.
证法三：不平移齐次化
$分析：A点坐标为(\sqrt{2},0),P,Q坐标设为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),证{\color{Green} K_{AP}+K_{AQ}=\cfrac{y_1}{x_1-\sqrt{2}} +\cfrac{y_2}{x_2-\sqrt{2}}} 为定值$
$解：x^2+2y-2=0变形为：(x{\color{Red} -\sqrt{2}+\sqrt{2}} )^2+2y-2=0\Rightarrow$
$(x-\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+2y^2=0$
$设l_{PQ}方程为:{\color{Red} m(x-\sqrt{2}) +ny=1},(直线斜率存在，且不过A(\sqrt{2} ,0)$
$此直线过点D(\sqrt{2},-\sqrt{2})，得n=-\cfrac{\sqrt{2} }{2} $
$一次项乘以{\color{Red} m(x-\sqrt{2}) +ny}齐次化,得$
$2y^2+2\sqrt{2} (x-\sqrt{2} )[{\color{Red} m(x-\sqrt{2}) +ny}]+(x-\sqrt{2} )^2=0$
$两边除以(x-\sqrt{2} )^2,得2\times (\cfrac{y}{x-\sqrt{2} } )^2+2\sqrt{2}n \cdot \cfrac{y}{x-\sqrt{2} } +2\sqrt{2}m+1=0$
$\cfrac{y_1}{x_1-\sqrt{2} }+\cfrac{y_2}{x_2-\sqrt{2} }=-\cfrac{2\sqrt{2}n }{2}=1 $
抛物线$y^2=4x$与直线$l$交抛物线于$A,B$两点，且$OA\perp OB$求证：直线$l$过定点。
$解：O点为原点，显然l不经过O，k不存在时，OA\perp OB，易得x=4$
$k存在时设直线l的方程为：mx+ny=1$
$y^2=4x\Rightarrow y^2-4x\cdot(mx+ny)=0$
$y^2-4nxy-4mx^2=0$,两边除以$x^2$
$(\frac{y}{x})^2-4n\frac{y}{x}-4m=0$
$\frac{y_1}{x_1}\cdot\frac{y_2}{x_2}=-4m=-1\Rightarrow m=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}x+ny=1$过定点$(4,0)$。
已知点$(2,1)$在双曲线$C： \cfrac{x^2}{a^2} -\cfrac{y^2}{a^2-1} =1(a>1)$上，直线$l$交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0。
$(1)求l$的斜率；
$(2)若\tan\angle PAQ=2\sqrt[]{2} ,求\bigtriangleup PAQ的面积。$
已知椭圆$\cfrac{x^2}{4} +y^2 =1$，不过点$P(0,1)$到直线与椭圆交于两点，如果直线PA,PB的斜率之和为-1，证明直线l恒过定点。
$分析：K_{PA}=\cfrac{y_1-1}{x_1-0} ,K_{Pb}=\cfrac{y_2-1}{x_2-0}, K_{PA}K_{Pb}=-1$
$解法一不平移齐次法：x^2+4y^2-4=0{\color{Red}\Rightarrow x^2+4({\color{Green} y-1} +1)^2-4=0} \Rightarrow x^2+4(y-1)^2+8(y-1)=0$
$设直线方程为:mx+n{\color{Green} (y-1)} =1，齐次化上式，得x^2+4(y-1)^2+8(y-1)[mx+n{\color{Green} (y-1)}]=0$
$(8n+4)(y-1)^2+8mx(y-1)+x^2=0两边除以x^2,得(8n+4)\times (\cfrac{y-1}{x} )^2+8m\times \cfrac{(y-1)}{x} +1=0$
$\cfrac{y_1-1}{x_1} +\cfrac{y_2-1}{x_2}=-1=\cfrac{-8m}{8n+4}$
$代入直线，8mx+8n(y-1)=8,8m=8n+4,x=2,y=-1$
${\color{Green} 解法二：双联立齐次化处理：}$
$设直线P_2A的斜率为k_1,直线P_2B的斜率为k_2$
$P_2A:y=k_1x+1,即k_1x+(1-y)=0$
$同理：P_2B:y=k_2x+1,即k_2x+(1-y)=0$
$此时将两方程合在一起：[k_1x+(1-y][k_2x+(1-y)]=0$
$这个式子就可以表示P_2A和P_2B两条直线上所有的点，化简后得到$
$k_1k_2x^2+(k_1+k_2)x(1-y)+(1-y)^2=0$
$题目中条件有k_1+k_2=-1,\cfrac{x^2}{4}+y^2=1$
$即x^2=4(1-y^2)=4(1+y)(1-y)$
$代入得4k_1k_2(1+y)(1-y)-x(1-y)+(1-y)^2=0$
$因为直线l不经过P_2(0,1),y\ne 1,1-y\ne 0,$
$所以消去(1-y)得l:4k_1k_2(1+y)-x+(1-y)=0.$
在这里，要求出直线$l所过定点，只需要联立以下方程：1+y=0和-x+(1-y)=0,解得x=2,y=-1$
即直线$l过定点(2,-1)$
设抛物线$C:y^2=2x,点A(2,0),B(-2,0),$过点Ａ的直线$l与C交于M,N$两点。
(1)当$l与x$轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：$\angle ABM =\angle ABN.$
$已知A,B分别为椭圆E:\cfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$左右两个顶点，G为E的上顶点，$\vec{AG} \cdot\vec{GB}=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.$
(1)求E的方程；$\cfrac{x^2}{9}+y^2=1 $
(2)证明：直线CD过定点。
已知椭圆$C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),四点P_1(1,1),P_2(0,1),P_3(-1,\frac{3}{2}),P_4(1,\frac{3}{2})$中恰有三点在椭圆$C$上。
(1)求C的方程； $\cfrac{x^2}{4} +y^2 =1$
(2)设直线$l不经过P_2$点且与C相交于$A,B$两点。若直线$P_2A$与直线$P_2B$的斜率的和为$-1$,证明：$l$过定点。
设$A,B$为曲线$C:y=\frac{x^2}{4}$上的两点，$A与B$的横坐标之和为4。
(1)求直线$AB$的斜率；
(2)设$M$为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行，且$AM\perp BM,求直线AB$的方程。
$y=kx$恒过原点$(0,0)$，就是当$k$取任意值时，它总经过原点$(0,0)$
$y=kx+1$恒过点$(0,1)$,就是当$k$取任意值时，它总经过定点$(0,1)$
$\Rightarrow 就是让k$这个参数在式子失去了作用。
例1.已知直线的方程为$x+my-2m+6=0$,则该直线恒过定点$(\qquad)$
$x+my-2m+6=0\Rightarrow m(y-2)+x+6=0$
让参数m失去作用就是$y-2=0\Rightarrow y=2,x+6=0\Rightarrow x=-6$定点为$(-6,2)$
例2.已知直线$l:(m+1)x+(2m-1)y+m-2=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$
$m(x+2y+1)+x-y-2=0\Rightarrow \begin{cases} x+2y+1=0\x-y-2=0
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1\y=-1
\end{cases}$
例3.已知直线$l:(m+n)x+(2m-n)y+5m-n=0$,则直线恒过定点$(\qquad)$
$\Rightarrow m(x+2y+5)+n(x-y+1)=0\Rightarrow m\times 0+n\times 0=0$
$\Rightarrow \begin{cases} x+2y+5=0\\x-y+1=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\y=-2\end{cases}$
若已知方程是含有一个参数$m$的直线系方程，则我们可以把系数中的$m$分离出来，化为$f(x,y)+mg(x,y)=0$的形式。再由$\begin{cases}
f(x,y)=0\g(x,y)=0\end{cases}$**解出$x和y$的值**，即得定点坐标。
例4.已知抛物线$T:y=ax^2(a>0)与直线l$交于A,C两点，且$\angle AOC=90^ {\circ}$,求证：直线l过定点Ｍ;
例：函数$y=x^2+(2-m)x+m$的图像恒过一点，求该点坐标。
$y=x^2+(2-m)x+m$
$y=x^2+2x+m(1-x)$
$\begin{cases} 1-x=0\\y=x^2+2x\end{cases}\Rightarrow (1,3)$
例：函数$y=a^{x+2}+1(a>0,且a\ne1)$的图像恒过的定点是$(-2,2)$
就是与参数a无数的点，$a^0=1,y=a^x$恒过定点$(0,1)$
令指数部分为０,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标
例题：函数$y=\log_{a}{(2x+1)} -2(a\gt 0,且a\ne1)$恒过
令真数部分为１,得到定点横坐标，代入得到定点纵坐标
用极点三角，计算出过n=1,配凑（n-1）的因式
拾之九八
例一：北京卷:已知椭圆$C:\cfrac{x^2}{8}+\cfrac{y^2}{4}=1$,与y轴的交点为A,B点A位于B的上方），直线 $y=kx+4$与曲线C交于不同的两点$M,N,连接AM,BN交于点G$，求证:点$G$纵坐标为定值。
预判：(0,4)点的极线为 $\cfrac{0\cdot x}{8} +\cfrac{4y}{4}=1\Rightarrow y=1\quad G点在此准线上$
一、设点、设直线：
设三点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),G(m,n),A(0,2),B(0,-2)直线l_{MN}:y=kx+4$
二、联立方程写韦达；
$\begin{cases} y=kx+4\\x^2+2y^2-8=0\end{cases}\Rightarrow 2(kx+4)^2+x^2-8=0\Rightarrow (2k^2+1)x^2+16kx+24=0$
$x_1+x_2=\cfrac{-16k}{2k^2+1} \quad x_1x_2=\frac{24}{2k^2+1}$
三、三点共线用斜率列等式，
MBG三点共线：$\cfrac{y_1+2}{x_1} =\cfrac{n+2}{m}\quad(1)$
NAG三点共线：$\cfrac{y_2-2}{x_2} =\cfrac{n-2}{m} \quad(2)$
两式相除，得：$\cfrac{y_1+2}{x_1} \cdot \cfrac{x_2}{y_2-2} =\cfrac{n+2}{n-2}$
四、交叉相乘再按需要配凑：
$(n+2)x_1(y_2-2)=(n-2)x_2(y_1+2)\Rightarrow (n+2)x_1(kx_2+2)=(n-2)x_2(kx_1+6)$
$\Rightarrow (n+2)kx_1x_2+2(n+2)x_1=(n-2)kx_2x_1+6(n-2)x_2$
$\Rightarrow 4kx_1x_2+2({\color{Red}n-1 }+3)x_1-6({\color{Red} n-1}-1)x_2=0$
$\Rightarrow 4kx_1x_2+2{\color{Red} (n-1)}(x_1-3x_2)+6(x_1+x_2)=0$
$\Rightarrow 4k\cdot \cfrac{24}{2k^2+1}+2{\color{Red} (n-1)}(x_1-3x_2)+6\cdot \cfrac{-16k}{2k^2+1} =0\Rightarrow 2(n-1)(x_1-3x_2)=0$
例2：江苏卷例题：$\frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{5} =1$左右顶点为A,B,设过点$T(t,m)$的直线$TA,TB$与椭圆分别交于$m(x_1,y_1),N(x_2,y_2),其中 m\gt 0,y_1\gt 0,y_2\lt 0.设t=9,求证直线MN必过x轴上的定点。$
定点G(n,0)的极线为$x=9,\frac{nx}{9} +\frac{0\cdot y}{5} =1 \Leftrightarrow x=9\Rightarrow n=1刻意构造n-1$
一、设点设直线：
设$M(x_1,y_1), N(x_2,y_2), 设直线MN过{\color{Red}\cancel{定点}} 点G(n,0),l_{MN}=ty+n \quad A(-3,0),B(3,)$·二、联立方程
$\begin{cases} x=ty+n\\5x^2+9y^2-5\times9=0\end{cases}\Rightarrow 5(ty+n)^2+9y^2-5\times9=0$
$\Rightarrow (5t^2+9)y^2+10nt\cdot y+5\times(n^2-9)=0$
$y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
三、三点共线斜率有等式
$k_{AM}=\cfrac{y_1}{x_1+3} =\cfrac{m}{12}=k_{TA} \quad(1)$
$k_{BN}=\cfrac{y_2}{x_2-3} =\cfrac{m}{6}=k_{TB}\quad (2)$
两式相除，得：${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}\quad *$
$y_2(x_1+3)=2y_1(x_2-3）\Rightarrow x_1y2+3y_2=2x_2y_1-6y_1$
第四步：刻意构造(n-1)的因式分解式
从上式可以看出，消去x比消y简单一些。
$\Rightarrow (ty_1+n)y_2+3y_2=2(ty_2+n)y_1-6y_1$
$\Rightarrow ty_1y_2+2(n-3)y_1-(n+3)y_2=0$
$\Rightarrow ty_1y_2+2(n-1-2)y_1-(n-1+4)y_2=0$
$ty_1y_2+(n-1)(2y_1-y_2)-4(y_1+y_2)=0$
$\Rightarrow t\cdot\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)-4\cdot\cfrac{-10nt}{5t^2+9}=0$
$\Rightarrow \cfrac{5t(n^2+8n-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)=0$
$\Rightarrow (n-1)\cdot[\cfrac{5t(n+9)}{5t^2+9}+(2y_1-y_2)]=0$
$\Rightarrow n-1=0\therefore$n=1,直线过定点G(1,0)
法二、
${\color{Red} **利用椭圆第三定义对非对称韦达定理处理**}$
利用椭圆第三定义对非对称韦达定理处理
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}$
$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2} =-\frac{5}{9}$
$k_{AM}=\cfrac{y_1}{x_1+3} =-\frac{5}{9} \cdot\cfrac{1}{k_{BM}} =-\cfrac{5}{9}\cdot \cfrac{x_1-3}{y_1}$
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =-\cfrac{5}{9}\cdot \cfrac{x_1-3}{y_1}\cdot\cfrac{x_2-3}{y_2}=\cfrac{1}{2}}$
$\cfrac{x_1-3}{y_1}\cdot\cfrac{x_2-3}{y_2}=\cfrac{x_1x_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1y_2}$
$x_1x_2=(ty_1+n)(ty_2+n)=t^2y_1y_2+nt(y_1+y_2)+n^2$
$-3(x_1+x_2)=-3(ty_1+n+ny_2+n)=-3t(y_1+y_2)-6n$
$分 子=t^2y_1y_2+t(n-3)(y_1+y_2)+n^2-6n+9$
$\cfrac{x_1x_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1y_2}=\cfrac{t^2y_1y_2+t(n-3)(y_1+y_2)+(n-3)^2}{y_1y_2}$
$=\cfrac{t^2\cdot 5(n^2-9)+t(n-3)(-10nt)+(n-3)^2(5t^2+9)}{5(n^2-9)}$
$\because \quad y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
$\cfrac{5n^2t^2-5\cdot 9t^2-10n^2t^2+30nt^2+5n^2t^2-30nt^2+9\cdot 5t^2+9(n-3)^2}{5(n^2-9)}$
$=\cfrac{9(n-3)^2}{5(n+3)（n-3)}=-\cfrac{9}{5}\cdot \cfrac{1}{2}$
法三、韦达定理的和积互化处理非对称韦达定理。
${\color{Red} \cfrac{y_1}{x_1+3} \cdot\cfrac{x_2-3}{y_2} =\cfrac{1}{2}}=$
$\cfrac{y_1(ty_2+n-3)}{y_2(ty_1+n+3)}=\cfrac{ty_1y_2+(n-3)y_1 }{ty_1y_2+(n+3)y_2 }$
$\because \quad y_1+y_2=\cfrac{-10nt}{5t^2+9} \quad y_1y_2=\cfrac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
令$y_1y_2=\lambda \cdot(y_1+y_2)\Rightarrow \lambda =\cfrac{n^2-9}{-2nt}$
$\cfrac{ty_1y_2+(n-3)y_1 }{ty_1y_2+(n+3)y_2 }=\cfrac{t\cdot \cfrac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n-3)y_1 }{t\cdot \cfrac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n+3)y_2 }$
=$\cfrac{(n^2-9)\cdot(y_1+y_2)-2n(n-3)y_1 }{(n^2-9)(y_1+y_2)-2n(n+3)y_2 }=\cfrac{(n-3)\cdot[(n+3)(y_1+y_2)-2ny_1 ]}{(n+3)\cdot[(n-3)(y_1+y_2)-2ny_2] }$
$=\cfrac{(n-3)\cdot[y_1(3-n)+y_2(n+3) ]}{(n+3)\cdot[y_1(n-3)-y_2(n+3)] }=-\cfrac{n-3}{n+3}=\cfrac{1}{2}$
$\therefore n=1$