极值最值大题(导数2最后1页)
1-1、已知函数$(2)f(x)=e^x-ax-a^3$
$(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；$
$(2)若f(x)有极小值，且极小值小于０，求的取值范围$
(2)
${f}' (x)=e^x-a$
${\color{Red} 1^\circ } 若a\le 0,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow 无极值。\quad$
${\color{Red} 2^\circ } 若a\gt 0$
$\qquad {\color{Green} ①} 令{f}' (x)\lt 0,x\lt \ln a,f(x)\searrow ;$
$\qquad {\color{Green} ②} 令{f}' (x)\gt 0,x\gt \ln a,f(x)\nearrow ;$
$f(x)在x=\ln a处有极小值，f(\ln a)=a-a\ln a-a^3=-a(a^2+ln a-1)\lt 0$
$令g(a)=a^2+\ln a-1,{g}' (a)=2a+\cfrac{1}{a},g(a)\nearrow 且g(1)=0,a\gt 1,f(\ln a)\lt 0$
1-2、$f(x)=e^x(e^x-a)-a^2x\quad $
(1)讨论f(x)的单调性；
$(2)若f(x)\ge 0，求ａ的取值范围。$
$(1){f}' (x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2=(2e^x+a)(e^x-a)$
${\color{Red} \quad 1^\circ }若a=0,{f}' (x)=2(e^x)^2\gt 0,f(x)在R\nearrow$
${\color{Red} \quad 2^\circ }若a\gt 0$
$\qquad {\color{Green}\quad ①} 令{f}' (x)\lt 0,x\lt \ln a,f(x)\searrow $
$\qquad {\color{Green} \quad ②} 令{f}' (x)\gt 0,x\gt \ln a,f(x)\nearrow $
${\color{Red} \quad 3^\circ }若a\lt 0$
$\qquad {\color{Green} \quad ①\quad } 令{f}' (x)\lt 0,x\lt \ln(-\cfrac{a}{2}),f(x)\searrow $
$\qquad {\color{Green} \quad ②\quad } 令{f}' (x)\gt 0,x\gt \ln(-\cfrac{a}{2}),f(x)\nearrow $
$(2)f(x)\ge 0 求a取值范围$
${\color{Red} \quad 1^\circ\quad } 若a= 0,{f} (x)=(e^x)^2\gt 0,恒成立；$
${\color{Red} \quad 2^\circ \quad } 若a\gt 0，f(x)_{min}=f(\ln a)=-a^2\ln a\ge 0\Rightarrow 0\lt a \lt 1$
${\color{Red}\quad 3^\circ\quad }若a\lt 0$
$f(x)_{min}=f(\ln(-\cfrac{a}{2}))=\cfrac{3}{4}a^2-a^2 \ln(-\cfrac{a}{2})\ge 0\Rightarrow -2e^{\cfrac{3}{4} }\le a\lt 0$
$\therefore -2e^{\cfrac{3}{4} }\le a\lt 1$
2、已知函数$f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-\cfrac{1}{2}ax^2 ,a \in R $
$(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；$
$(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)\cos x-\sin x,讨论g(x)的单调性.$
$(2) g(x)=f(x)+(x-a)\cos x-\sin x$
${g}' (x)=x^2-ax+\cos x+(x-a)(-\sin x)-\cos x=(x-a)(x-\sin x)$
$欲判断 f(x)的正负，先判断 x-a和x-\sin x的单调性。x-a单调增，我们判断x-\sin x，$
$令h(x)=x-\sin x，{h}' (x)=1-\cos x\ge 0 ,h(x)\nearrow$
$且h(0)=0,故h(x)可以看作x，即用x代替上式中的x-\sin x$
${\color{Red} 1^\circ } 若a=0,{g}' (x)\ge 0，g(x)\nearrow,无极值。$
${\color{Red} 2^\circ } 若a\gt 0:$
$\qquad {\color{Green} ①} 当x\lt 0 时,{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow;$
$\qquad {\color{Green} ②} 当0\lt x\lt a 时,{g}' (x)\lt 0,g(x)\searrow;$
$\qquad {\color{Green} ③}当x\gt a 时,{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow;$
故$g(x)_{极大}＝g(0)=-a,g(x)_{极小}＝g(a)=\cfrac{1}{6}a^3-\sin a$
${\color{Red} 3^\circ } 若a\lt 0:$
$\qquad {\color{Green} ①} 当x\lt a时,{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow;$
$\qquad {\color{Green} ②}当a\lt x\lt 0 时,{g}' (x)\lt 0,g(x)\searrow;$
$\qquad {\color{Green} ③}当x\gt 0 时,{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow;$
$故g(x)_{极小}＝g(0)=-a,g(x)_{极大}＝g(a)=\cfrac{1}{6}a^3-\sin a$
3-1、已知函数$f(x)=(x-1)e^x-\cfrac{1}{2}ax^2 ，a\in R $
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值。
$(1)切线方程：y=-1$
$(2){f}' (x)=xe^x-ax=x(e^x-a)$
${\color{Red} 1^\circ } \quad若e-a\ge 0,即a\le e时，e^x-a\ge 0$
${f}' (x)\ge 0，f(x)在[1,2]\nearrow ,f(x)_{min}=f(1)=-\cfrac{1}{2} a$
${\color{Red} 2^\circ } \quad若e^2-a\le 0,即a\ge e^2,时，e^x-a\le 0$
${f}' (x)\le 0，f(x)在[1,2]\searrow ,f(x)_{min}=f(2)=e^2-2a$
${\color{Red} 3^\circ } \quad若e\lt a\lt e^2,{\color{Green} ①}当1\le x\lt\ln a时,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow;$
$\qquad \qquad\quad\quad {\color{Green} ②}当\ln a\lt x\le 2时,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow;$
$f(x)_{min}=f(\ln a)=a(\ln a-1)-\cfrac{1}{2}a\ln ^2 a=-\cfrac{1}{2}a(\ln ^2a-2\ln a+2) $
综上所述：$f(x)_{min}=\begin{cases} -\cfrac{1}{2}a\qquad\qquad\qquad \qquad a\le e; \\ -\cfrac{1}{2}a(\ln ^2a-2\ln a+2) \quad,e\lt a\lt e^2 \\ e^2-2a \qquad \qquad a\ge e^2 \end{cases}$
3-2$已知函数f(x)=2x^3-a^2+b;$
$(1)讨论f(x)的单调性；$
$(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值-1为且最大值为1，若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由。$
$(1){f}' (x)=6x^2-2ax=2x(3x-a)$
$\quad{\color{Red} 1^\circ } \quad若 \cfrac{a}{3}= 0,即a=0, {f}' (x)\ge 0,f(x)\nearrow$
$\quad{\color{Red} 2^\circ } \quad若 \cfrac{a}{3}\gt 0,即a\gt 0 ，{\color{Green} ①}当x\lt 0 ,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow$
$\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad{\color{Green} ②} 当0\lt x\lt \cfrac{a}{3} ,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\color{Green} ③} 当x\gt \cfrac{a}{3} ,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow$
$\quad{\color{Red} 3^\circ } \quad若 \cfrac{a}{3}\lt 0,即a\lt 0 {\color{Green} ①}当x\lt\cfrac{a}{3} ,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow$
$\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad{\color{Green} ②} 当\cfrac{a}{3} \lt x\lt 0 ,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\color{Green} ③} 当x\gt 0 ,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow$
－－－
(2)由(1)可知，
${\color{Red}(1) } a\le 0时,{f}' (x)\ge 0,f(x)在[0,1]\nearrow $
$\quad\quad \quad \begin{cases}f(0)=b=-1\\f(1)=2-a+b=1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=0\\b=-1\end{cases}$
${\color{Red} (2)} a\gt 0时，{\color{Green} a)} 若\cfrac{a}{3}\ge 1\Rightarrow a\ge 3,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow $
$\qquad\qquad\qquad\begin{cases}f(0)=b=1\\f(1)=2-a+b=-1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=4\\b=1\end{cases}$
$\qquad\qquad\quad{\color{Green} b)} 若\cfrac{a}{3}\lt 1 时\Rightarrow 0\lt a\lt 3时$
$此时极小值一定在\cfrac{a}{3} 处，但最大值可能在两个端点之一$
$\qquad\qquad\begin{cases} f(\cfrac{a}{3})=2\cdot (\cfrac{a}{3})^3-(\cfrac{a}{3})^2+b=-1 \\ f(0)=b=1\end{cases} \Rightarrow a^3=54\Rightarrow a=3\sqrt[3]{3} \gt 3舍去$
$\qquad\qquad\begin{cases} f(\cfrac{a}{3} )=2\cdot (\cfrac{a}{3})^3-(\cfrac{a}{3})^2+b=-\cfrac{a^3}{27}+b=-1 \\ f(1)=2-a+b=1 \end{cases}\Rightarrow a^2=27\Rightarrow a=3\sqrt{3} \gt 3$