排列Arrangement Permutation
组合：C
1、6个人（3男3女）一排坐在一起，有多少种不同的排列方法；

${\color{Red}全排列： A_6^6=P_6^6} $
2、如果6个人安排4个座位，

${\color{Red} A_6^4=P_6^4＝=\cfrac{6!}{2!} } $

重复元素排列问题：
即男生女生内部均不分顺序（无序，不可辨识）重复元素消序！

${\color{Red} \cfrac{A_6^6}{A_3^3A_3^3}=\cfrac{6!}{3!3!} } $

组合：${\color{Green} Combination}$

${\color{Green}C_6^2=\cfrac{6!}{2!4!}=C_6^4 } $

4、捆绑（男女一号恋爱了）

${\color{Red} A_2^1A_5^5} $
5、插空：（男女一号刚刚分手）

${\color{Red} A_4^4A_5^2} $

先安排其余4个人，再在5个人空安排2人。

6、男女间隔:

$2\times 3！3！$
7、选择座位
${\color{Red} C_{10}^6A_6^6} =\cfrac{10!}{6!4!} \times 6!=A_{10}^6=P_{10}^6$

8、隔板：

${\color{Red} C_{8}^6＝C_8^2} $
9、围圈

人与人之间的相对位置没有变化，视为一种组合。相对于6个的全排列，重复排了6个次＝6次算一次

${\color{Red} \cfrac{A_{6}^6}{6} }$

分类加法：能独立完成任务；类类相加；
分步乘法：不能独立，分步计数，步步相乘。
排列数：arrangement, permutation 一位一人：有序的安排
$\begin{cases} 40人安排3个座位\\3人安排40个座位\end{cases}\Rightarrow A_{40}^{3} 几个人{\color{Red} 有序的安排}$到几个位置
组合数：Combination 无序的选择 choose
从40个人中${\color{Red} 选择}$3个人，下一步再安排到3个座位。
n个人无序的选择m个人：$C_{40}^{3}$
${\color{Red} 题型}$:

模块一：A与C的简单应用：（有序的安排A,无序的选择C）

1、从5男3女共8名学生中选出班长1人，副班长1人，学习委员1人，共有几种不同的选派方法。
法一：选择： $C_{8}^{1} C_{7}^{1}C_{6}^{1}=8\times 7\times 6$
法二：安排: $A_{8}^{3}=8\times 7\times 6 $
2、秀儿寒假四周从3部不同的国外名著和3部不同的国内名著中各选2部，每周读一部，连续四周看完，有几种不同的安排方法。
先选 后 排 $C_{3}^{2} C_{3}^{2} A_{4}^{4} =3\times 3\times 4\times 3\times 2=216$

模块二：

$\begin{cases} 1、正难则反\\2、特殊元素/位置先排\\3、相邻元素捆绑法\\4、不相邻元素插空法\\5、排数字问题\\6、分组分配问题\\\end{cases}$
1、正难则反:
从5男3女共8名学生中选出班长1人，副班长1人，学习委员1人，要求至少有一名女生入选，共有几种不同的选派方法。
反：没有女生入选为：$A_{5}^{3}$
$A_{8}^{3} -A_{5}^{3}$

2、特殊元素/位置先排:

6个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种。
甲排左：$A_{5}^{5} $ 甲优先安排在左端，余5位安排5人。
甲不排左：$C_{4}^{1}\times A_{4}^{4}$ 即乙在左端，四在2－5之间选1，余4位安排4人。共216

3、相邻元素捆绑法

2022年高考2卷，有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站两端，丙和丁相邻，则有多少种不同的排列方式。
先丙丁内部捆绑$A_{2}^{2}$,先安排甲不在两端，只能在中间两个位置$C_{2}^{1}$,余下三个位置按捺。$A_{3}^{3}$
故：$A_{2}^{2}C_{2}^{1}A_{3}^{3}=$

4、不相邻元素插空法

现有甲乙丙丁戊己6名同学在比赛后合影纪念，若甲乙二人必须相邻，且丙丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法有几种。
甲乙内部捆绑$A_{2}^{2}$，暂时不安排丙丁，先安排甲乙、戊、己位置，$A_{3}^{3}$,丙、丁插空,四空插2人。$A_{4}^{2}$

5、排数字问题:

用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数。
A、60个，B、106个，C、156个，D、216个
从元素入手，0可以在末位，不可以在首位，没有出现0，三种情况，相对难一点点；
可以从位置出发，末位为0，末位不为0，两种情况
末位为0：$A_{5}^{3}＝60$；
末位不为0：$C_{2}^{1}C_{4}^{1}A_{4}^{2}＝96$,末位，首位，中间两位，

波阵面：同一时刻，介质中振动相位相同的所有质点所联成的面称为波阵面。

波前：某一时刻，波动所到达的空间各点所联成的面称为波前。

波(阵)线：波的传播方向称为波线。

三者的关系是：波前是最前面的波阵面，是波阵面的特例。任意时刻，波前只有一个，而波阵面有无穷多个。在各向同性的介质中，波线恒垂直于波阵面或波前。

针对$a_{n+1}=f(a_n)=\cfrac{pa_b+q}{ra_n+s}\quad (p,s,r\ne 0)\quad $
${\color{Red}(1) } 若q=0,a_{n+1}=\cfrac{pa_b}{ra_n+s},\quad $倒数法
${\color{Red} (2) 不动点法}$
若$y=f(x)有f(x_0)=x_0,则x_0是y=f(x)$的不动点。
即法则$f仅对x_0$失效了，经过法则后，仍旧等于它本身。
${\color{Red} 不动点的性质：} f(x)-x=(x-x_0)\cdot A\quad$ (A是多项式)
证明：$\because x_0是y=f(x)的$不动点，
$\Rightarrow x_0是f(x)-x＝0$的根。
$\Rightarrow f(x)-x=(x-x_0)\cdot A$
针对数列$a_{n+1}=f(a_n),\quad若x_0是y=f(a_n)$的不动点，
$a_{n+1}-x_0=f(a_n)-x_0=(a_n-x_0)\cdot A$
$a_{n+1}=f(a_n)=\cfrac{pa_b+q}{ra_n+s}$对应特征方程：$x=\cfrac{px+q}{rx+s}$
若对应特征方程：$x=\cfrac{px+q}{rx+s}$有以下情况：
${\color{Red} ①} 有两个不相等的实根\alpha和 \beta ,则\{\cfrac{a_n-\alpha }{a_n-\beta } \}$为等比数列；
${\color{Red} ②} 有两个相等的实根\alpha，则\{\cfrac{1}{a_n-\alpha} \}$为等差数列；
${\color{Red} ③}$ 没有实根，则原$a_n$是周期数列。

1、快速计算平面向量的法向量：
坐标横写抄两遍；
掐头去尾取中间；
交叉相乘再相加。

2、数列技巧：
${\color{Red} (一)形如a_{n+1}=f(a_n),}$ 用不动点法，所谓不动点
对于函数$f(x)$,若存在实数$x_0$,使得$f(x_0)=x_0$,则称$x_0$是函数$f(x)$的(一阶)不动点。
同样地，若$f(f(x_0))=x_0,则称x_0是函数f(x)$的二阶不动点。
容易发现，对于一阶不动点$x=x_0,有f(f(x_0))=f(x_0)=x_0$,因此一阶不动点必然是二阶不动点
$a_{n+1}=f(a_n),令a_{n+1}=a_n=x，$

例1、$a_1＝1,a_{n+1}=\cfrac{1}{2}a_n+1$,求$a_n$的通项公式。
令$a_{n+1}=a_n=x\Rightarrow x=\cfrac{1}{2}x+1\Rightarrow x=2$
$a_{n+1}-2=\cfrac{1}{2} a_n+1-2\Rightarrow a_{n+1}-2=\cfrac{1}{2} (a_n-2)$
$\{a_n-2\}为等比q=\cfrac{1}{2} ，首项-1的等比数列。\quad$
$\therefore a_n=-1\cdot (\cfrac{1}{2} )^{n-1}+2$

例2、$a_1=3,a_{n+1}=\cfrac{4a_n-2}{a_n+1} ,a_n$的通项公式

令$a_{n+1}=a_n＝x,\Rightarrow x=\cfrac{4x-2}{x+1} \Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=1/2$
$a_{n+1}-1=\cfrac{4a_n-2}{a_n+1}-1=\cfrac{3a_n-3}{a_n+1}=\cfrac{3(a_n-1)}{a_n+1} \qquad \qquad ①$
$a_{n+1}-2=\cfrac{4a_n-2}{a_n+1}-2=\cfrac{2a_n-4}{a_n+1}=\cfrac{2(a_n-2)}{a_n+1}\qquad \qquad②$
$①/②\Rightarrow \cfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-2} =\cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{a_n-1}{a_n-2} $

例3、$a_1=5,a_{n+1}=\cfrac{3a_n-4}{a_n-1} ,求a_n的通项公式；$

例4、$a_1=2,a_{n+1}=1-\cfrac{1}{a_n} ,求a_{2025}；$

${\color{Red} (二)若式中只有a_{n+2}\quad a_{n+1}\quad a_n,}$,用特征根法
例1、已知正数数列$\{a_n\}满足a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n,a_1=\cfrac{1}{2},a_2=\cfrac{3}{2} ,求a_n$的通项公式

${\color{Green} 设a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)} \qquad$
$ {\color{Green} \Rightarrow a_{n+2}=(p+q)a_{n+1}-p q\cdot a_n\Rightarrow \begin{cases} p+q=2\\-pq=3\end{cases}}$
$\Rightarrow \begin{cases} \quad p=3\\ \quad q=-1\end{cases}或\begin{cases} \quad p=－1\\ \quad q=3\end{cases}$
${\color{Red} 即p、q是方程x^2-2x-3=0的两根。} $
${\color{Green} 令a_{n+2}=x^2,a_{n+1}=x,a_n=1,} {\color{Blue} a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n} \Rightarrow {\color{Green} x^2-2x-3=0}$
我们把${\color{Green} x^2-2x-3=0} 称作 {\color{Blue} a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n}$的特征方程。