含参变量恒成立问题

含参变量恒成立问题

1、$已知a \in \mathbb{R}已知函数f(x)=\log_{2}{(\frac{1}{x}+a)}.$
$①当a=5时，解不等式f(x)\gt 0;$
$②若关于x的方程f(x)-\log_{2}{[(a-4)x+2a-5]} =0$的解集中恰好有一个元素，求$a$的取值范围;
$③设a\gt 0,若\forall t \in [\frac{1}{2},1]$函数f(x) 在区间$[t,1+t]$上最大值与最小值的差不超过1，求$a$的取值范围。

$2、函数y=\log_{\frac{1}{3}}{(x^2-ax+3)}$ 在[1,2]恒为正数，$a$取值范围（ ）。
$A、2\sqrt{2} <a<2\sqrt{3} $ $\quad B、2\sqrt{2} <a<\frac{7}{2}$ $\quad C、3 <a<\frac{7}{2}$ $\quad D、3 <a<2\sqrt{3}$

3、已知$f(x)=\log_{\sqrt{3} }{(3x-a)},$当点P(x,y)在函数y=f(x)图像上时，点$Ｑ(3x,\frac{y}{2})在y=g(x)$图像上．
$①求y=g(x)的表达式$
$②若A(x+a,y_1),B(x,y_2),C(3+a,y_2)$为函数$y=g(x)$图像上的三点,且满足$2y_2=y_1+y_3$的实数$x$有且只有两个不同的值,求实数$a$的取值范围．

4、已知$g(x)=ax^2-2 a x+1+b(a\neq 0,b\lt 1)$在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设$f(x)=\frac{g(x)}{x}.$
$①求a,b的值$。
$②不等式f(2^x)-k\cdot 2^x\ge0$在$x\in [-1,1]上恒成立，求实数k$的取值范围。
$③方程f(|2^x-1|)+k(\frac{2}{|2^x-1|}-3)$有三个不同的实数根，求实数$k$的取值范围。

$5、已知f(x)=x^2+(m+1)x+\lg{|m+2|} (m\neq -2,m\in \mathbb{R})$.
$①若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x),求g(x)和h(x)$
$②若f(x)和g(x)在区间[\lg|m+2|,(m+1)^2]$上都单调递减，求实数$m$的取值范围。
$③在②条件下， f(1)和\frac{1}{6}的大小。$

6、已知$m\gt 0,n\gt 0,\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1,$若不等式$m+n\ge -x^2+4x+a$对已知的$m,n及\forall x \in \mathbb{R}$恒成立，求实数$a$的最大值。

7、已知不等式$\quad ax^2+4x+a\gt 1-2x^2$对于一切实数$x$恒成立，求实数$a$的取值范围。

8、试确定实数$x$的值，使得不等式$(a+1)x^2-(3a+1)x-2(2a+1)\gt 0$对于$\forall a\in \mathbb{R}$恒成立。

9、已知关于$x$的不等式$ax+\frac{3}{x}\le 2a$在区间$(0,+\infty)$有解，求实数$a$的取值范围。