数学是打开科学大门的钥匙。

$物体从高度h_1沿重力方向移动至h_2,重力做为:$
$W=FS=mg(h_1-h_2)=mgh_1-mgh_2\quad我们把mgh定义为重力势能，做功与路径无关，仅与起点和终点位置有关$
$故E_p=mgh\Rightarrow W=E_{p1}-E_{p2},初减末$

$弹簧从伸长量为x_1,至伸长量为x_2,x_2\gt x_1,弹力做负功,功度系数为k$
$W=-\cfrac{1}{2}(kx_2^2+kx_1^2)(x_2-x_1)=\cfrac{1}{2}kx^2_1-\cfrac{1}{2}kx_2^2$
$定义E_p=\cfrac{1}{2}kx^2\Rightarrow W=E_{p1}-E_{p2},初减末$

动能定理的推导
$\begin{cases}v_t=v_0+at\qquad ①\\s=v_0t +\cfrac{1}{2}at^2\quad ②\\v^2-v_0^2=2as\qquad ③\\F=ma \qquad\qquad④\end{cases}$
$③④联立消去a,得,F=m\times \cfrac{v^2-v_0^2}{2s}\Rightarrow Fs=\cfrac{1}{2}mv^2-\cfrac{1}{2}mv^2_0$
$①④式代入联立消去a,得:a=\cfrac{v-v_0}{t},F=ma＝m\times\cfrac{v-v_0}{t}$
$Ft＝m\times(v-v_0)=mv-mv_0\quad 动量定理由此可得$

$新概念物理第一册139页物体系的动能定理与机能原理$
物体系的动能定理：
物体系的动能增量等于外力的总功和内力的总功的代数和，这称为物体系的动能定理。动能的增量是指末态的动能减去初态的动能。物理学使用增量，均指末态减初态。
物体系的功能定理:
物体系的机械能增量等于外力的总功与非保守内力的总功的代数和，这称为物体系的机械能定理,也叫功能原理。

注意:这与物体系的动能定理是统一的。因为据动能定理,保守内力做正功，会导致物体系的动能增加.而根据上面可知，保守内力做正功＝物体的初势能－末势能＝势能的负增量，移到公式左边则变成相反数即势能的增量。此时，左边是动能+势能即机械能，右边只有物体系外力做功和非保守内力做功，即变成的功能原理了。
因此，计算此类题目，一定要明白你打算用物体系的动能定理还是功能原理，如果用动能定理，则要公式右边加上保守内力做的功(外力和非保守内力做功始终要考虑的)。如果你选择了机械能定理(功能原理),则一定要避免在公式右边重复罗列保守内力做的功！
$例4-3，一质量m为0.4kg的木块在水平桌面上运动,

$解1:把木块和弹簧看作一个物体系,内力只有弹力，且为保守力;$
$而f,mg,Ｎ均为外力,且只有f做功W_f,弹簧质量不计,故系统的动能只计木块的$
$若用动能定理则有:0-\cfrac{1}{2}mv^2={\color{Red} [} -\mu mgx_{max}{\color{Red} 外力做功]} +{\color{Red} [} -\cfrac{1}{2}kx^2_{max}{\color{Red} 内力做功]}$
$若用功能原理则有:(\cfrac{1}{2}kx^2_{max}+0)-(\cfrac{1}{2}mv^2+0)={\color{Red} [} -\mu mgx_{max}{\color{Red} 外力做功]} $
$解2:如把木块、弹簧和桌子看作一个物体系,弹力为保守内力力;f也成为内力,木块与桌面之间的支持力与压力也成为内力,且不做功$
$系统所受的外力仅有木块和桌子的重力以及地面对桌子的支持力。但它们都与运动方向垂直,没有做功$
$若用动能定理则有:0-\cfrac{1}{2}mv^2= -\mu mgx_{max} +( -\cfrac{1}{2}kx^2_{max})\quad 右边均为内力做功$
$若用功能原理则有:(0+\cfrac{1}{2}kx^2_{max})-(0+\cfrac{1}{2}mv^2)= -\mu mgx_{max} \quad 右边均为非保守内力做功$