$若数列\{a_n\}的首项a_1=1,且满足a_{n+1}+a_n=4\times 3^n$

$(1)求证\{a_n-3^n\}是等比数列$

$(2)求\{a_n\}的通项公式；$

$(3)求\{a_n\}的前n和Ｓ_n$

$(1)根据证明设b_n=a_n-3^n,写出b_{n+1}=a_{n+1}-3^{n+1},再在原条件中构造出b_n和b_{n+1}来$
$原式a_{n+1}+a_n=4\times 3^n，左右两边减去3^{n+1}的3^{n}即可。$
$a_{n+1}+a_n-3^{n+1}-3^n=4\times 3^n-3^{n+1}-3^n\Rightarrow a_{n+1}-3^{n+1}+a_n-3^n=0$
$\Rightarrow b_{n+1}+b_n=0\Rightarrow b_{n+1}=-b_n\Rightarrow \cfrac{b_{n+1}}{b_n}=-1=q$
$b_1=a_1-3^1=1-3=-2,故\{b_n\}是以b_1=-2的首项，q=-1的等比数列，$
$(2)\quad b_n=a_n-3^n=a_1q^{n-1}=-2\times (-1)^{n-1}=2\times (-1)^n$
$a_n=2\times (-1)^n+3^n$
$(3)\quad a_n=2\times (-1)^n+3^n$
$a_1=2\times (-1)^1 +3^1=-2+3$
$a_2=2\times (-1)^2+3^2=2+3^2$
$a_3=2\times (-1)^3+3^2=-2+3^3$
$a_4=2\times (-1)^4+3^2=-2+3^4$
$a_5=2\times (-1)^5+3^5=2+3^5$
$\cdots\cdots\cdots$
$a_n=-2\times (-1)^n+3^n=-2+3^n\qquad(n为奇数时)$
$a_n=-2\times (-1)^n+3^n=2+3^n\qquad(n为偶数时)$
$所以当n为偶数时,S_n=3+3^2+3^3+3^4+3^5\cdots 3^n=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=\cfrac{3}{2}(3^n-1)=\cfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\cfrac{3}{2}$
$所以当n为奇数时,S_n=3+3^2+3^3+3^4+3^5\cdots 3^n-2=\cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}-2=\cfrac{3(1-3^n)}{1-3}-2=\cfrac{3}{2}(3^n-1)-2=\cfrac{1}{2}\times 3^{n+1}-\cfrac{7}{2}$

$a_n=\cfrac{3}{2}(3^n-1)-1+(-1)^n$