$第1题:已知实数m,n满足\ln m+e^n\le n-\cfrac{1}{m}+2,则m-n的值为(\quad )$
$A.-2\qquad B.-1\qquad C.2\qquad D.1\qquad 解:让\ln 和e消失$
$m=1,n=0,检验1\le 0-1+2=1,选 D$

$第2题:若对于任意x\in (0,+\infty),有ax+b\ge\ln x恒成立，求a+2b的最小值(\qquad)$
$解:2ax+2b\ge 2\ln x$
$令x=\cfrac{1}{2},有a+2b\ge 2\ln\cfrac{1}{2}$

$第3题:已知f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})有唯一零点,则a的值为(\qquad)$
$A.-1\quad B.-\cfrac{1}{2}\quad C.\cfrac{1}{2}\qquad D.1$
$解:f(x)=0,a=\cfrac{2x-x^2}{e^{x-1}+e^{-x+1}},e消失之术，\begin{cases} x-1=0\\ -x+1=0\end{cases}\Rightarrow x=1,a=\cfrac{2-1}{1+1}＝\cfrac{1}{2}$

$第4题:已知正项数列\{a_n\}的前n项之和为S_n,a_1=4,且a_n=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}(n\ge 2),则a_{2026}=(\qquad)$
$A.4053\quad B.4051\quad C.2026\quad.D.2025$
$解:用所求下标改写选项,令n=2026\quad改写选项 \quad A.2n+1\quad B.2n-1 \quad C.n \quad D.n-1$
$在a_n=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}中令\quad a_2=\sqrt{a_1+a_2}+\sqrt{a_1},解得a_2=5,n=2代入上述ABCD,得A.5$

$第4题:已知正项数列\{a_n\}的前n项之和为S_n,a_1=4,且a_n=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}(n\ge 2),则a_{2024}=(\qquad)$
$A.4049\quad B.4047\quad C2025\quad.D.2024$
$解:用所求下标改写选项,令n=2024\quad改写选项 \quad A.2n+1\quad B.2n-1 \quad C.n+1 \quad D.n-1$
$在a_n=\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n-1}}中令\quad a_2=\sqrt{a_1+a_2}+\sqrt{a_1},解得a_2=5,n=2代入上述ABCD,得A.5$

$第5题:已知数列\{a_n\}中,a_1=1,且\cfrac{a_n+1}{a_n}=\cfrac{n+1}{n},(n为正整数),则a_{2026}=(\qquad)$
$A.\cfrac{1}{2026}\quad B.\cfrac{1}{2025}\quad C.\cfrac{2025}{2026}\quad.D.\cfrac{2026}{2027}$
$解:用所求下标改写选项,令n=2026,则改写 \quad A.\cfrac{1}{n}\quad .B.\cfrac{1}{n-1}\qquad \cfrac{n-1}{n}.\qquad D.\cfrac{n}{n+1}$
$n=1,a_1=1,A=1$

$第6题:已知数列\{a_n\}的各项均不为0，其前n项积为T_n,且\cfrac{1}{2}a_n+\cfrac{T_n}{2^n}=1,记数列 \{\cfrac{T_n\times T_{n+1}}{4^n} \}$
$的前n项和为S_n,则S_{2026}等于=(\qquad)$
$A.\cfrac{1013}{1014}\quad B.\cfrac{1013}{2028}\quad C.\cfrac{2027}{2028}\quad.D.\cfrac{2027}{1014}$
$解:由\quad \cfrac{1}{2}a_n+\cfrac{T_n}{2^n}=1,令n=1,\cfrac{1}{2}a_1+\cfrac{T_1}{2^1}=1,解得a_1=1;再令n=2,\cfrac{1}{2}a_2+\cfrac{a_1a_2}{2^2}=1,解得a_2=\cfrac{4}{3}$
$用所求下标改写选项,令n=2026,A.\cfrac{\cfrac{n}{2}}{\cfrac{n}{2}+1}\quad .B.\cfrac{\cfrac{n}{2}}{n+2}\quad C.\cfrac{n+1}{n+2}\qquad D.\cfrac{n+1}{\cfrac{n}{2}+1}$
$n=1,S_1=\cfrac{1}{3},A,\qquad \mathbb{备注:} 当n=1时,S_1=\cfrac{T_1T_2}{4},T_1＝a_1$

$第7题:已知数列\{a_n\}其前n项和为S_n,且a_1=a_2=1,a_n=2S_{n-2}+1(n\ge3),则S_{49} +S_{50} (\qquad)$
$A.2^{100}-1\quad B.2^{102}-1\quad C.2^{50}-1\quad D.2^{51}-1$
$解:用所求下标n=50改写选项,令n=2026,A.2^{2n}-1\quad B.2^{2n+2}-1\quad C.2^{n}-1\quad D.2^{n+1}-1$
$S_1+S_2=3,n=2A=2^4-1=15,B=63,C=3,D=9,故选C$

$第8题:数列\{a_n\}满足a_1=1,对任意的n\in N,都有a_{n+1}=a_n+n+1,则\cfrac{1}{a_1}+\cfrac{1}{a_2}+\cdots +\cfrac{1}{a_{2026}}=(\qquad)$
$A.\cfrac{2025}{2026}\quad B.\cfrac{2026}{2025}\quad C.\cfrac{4051}{2026}\quad.D.\cfrac{4052}{2027}$
$解:用n=2026改写选项,A.\cfrac{n-1}{n}\quad B.\cfrac{n}{n-1}\quad C.\cfrac{2n-1}{n}\quad D.\cfrac{2n}{n+1}\quad $
$再令n=2,a_2=a_1+1+1=3\Rightarrow \cfrac{1}{a_1}+\cfrac{1}{a_2}=\cfrac{4}{3},故选D$

$第9题:已知数列\{a_n\}其前n项和为S_n,且a_2=1,2S_{n}=na_n则a_{2026} (\qquad)$
$A.2025\quad B.2026\quad C.2027\quad D.2028$
$解:用n=2026改写选项,A.n-1\quad B.n\quad C.n+1\quad D.n+2\quad,题目给出的是a_2,因此用n=2，检验ABCD选项，故选A$

$第10题:若不等式e^{x-a}\ge \ln x+a恒成立,则实数a的取值范围是(\qquad)$
$解:x-a=0,x=1,左边=e^0=1\ge 右边=\ln 1+a=a,a\le 1$

$第11题:若不等式2x\ln x\ge-x^2+ax-3恒成立，求实数a的取值范围(\qquad)$
$解:\ln 消失之术，x=1,0\ge -1+a-3$

$第12题:若存在a\gt 0,对于任意的x\in (0,+\infty),都有x\ln x+2a\ge ax +b，求实数b的最大值为(\qquad)$
$解:x\ln x+(2-x)a\ge b,让a消失,必须x=2,2\ln 2\ge b$

$第13题:若不等式ax^2\ge \ln x恒成立，求实数a的取值范围(\qquad)$
$A.[\cfrac{1}{2e},+\infty)\qquad B.(\cfrac{1}{2e},+\infty)\qquad C.(-\infty,\cfrac{1}{2e}]\qquad D.(-\infty,\cfrac{1}{2e})$

$第14题:已知实数x,y满足\ln(2x+y)-e^{x+2y} -x+y+2\ge0,则x+y的值为(\quad )$
$A.1\qquad B.\cfrac{2}{3}\qquad C.\cfrac{1}{3}\qquad D.\cfrac{1}{5}\qquad 让\ln 和e消失$
$解:\begin{cases} 2x+y=1\\x+2y=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\cfrac{2}{3}\\y=-\cfrac{1}{3}\end{cases}\Rightarrow x+y=\cfrac{1}{3}$

$第15题:已知实数a\in R,b\in R^+,则有e^{2a}+[b-\ln(a+b)]^2的最小值为(\quad )$
$解:a+b=1,2a=0,e^0 +[1-0]^2=2$

$第16题:已知正实数a,b满足函数e^{a+4b}\le 4e\sqrt{ab},则\cfrac{b}{a}的值为(\quad )$
$解:1\times e^{a+4b}\le 4\sqrt{ab}\times e^1$
$4\sqrt{ab}=1,a+4b=1$

$第17题:已知正实数a,b,满足函数a-2\ln a=2\ln b-4b+4,则a^b=(\quad )$
$解:a+4b-4=2\ln a+2\ln b=2\ln (ab)=0\Rightarrow \begin{cases} ab=1\\a+4b=4\end{cases}$
$\begin{cases} a=2\\b=\cfrac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow a^b=2^{\cfrac{1}{2}}=\sqrt{2}$

$第18题:已知正实数x,y,满足函数\ln (2x)+\ln y=x+2y-2,那么x^y-y^x=(\quad )$
$A.\cfrac{\sqrt{2}}{4}\qquad B.\cfrac{1}{2}\qquad C.\cfrac{\sqrt{2}}{2}\qquad D.1\qquad$
$解:\ln (2xy)=x+2y-2=0$
$\begin{cases} 2xy=1\\x+2y-2=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x\times 2y=1\\x+2y=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1\\y=\cfrac{1}{2}\end{cases},选 B$

$第19题:已知f(x)=a(x+1)^2-1,g(x)=\cos x+2ax.当x\in (-1,1)时,两曲线恰有一个交点,则a=(\quad )$$A.-1,\quad B.\cfrac{1}{2}\quad C.1\quad D.2$
$解:a(x+1)^2-1=\cos x+2ax\Rightarrow a=\cfrac{\cos x+1}{(x+1)^2-2x},\cos 消失，x=0,选项中没有\pi,所以不要令x=\pi$
$a=\cfrac{\cos 0+1}{(0+1)^2-0}=2$

$第20题目:若对于任意正数x,y不等式x(1+\ln x)\ge x\ln y-ay恒成立，则实数a的取值范围是(\qquad)$
$A.(0,\cfrac{1}{e}]\quad B.[\cfrac{1}{e^3},\cfrac{1}{e^2}]\quad C.[\cfrac{1}{e^2},+\infty)\quad D.[\cfrac{1}{e^3},+\infty)\quad$
$解:x(1+\ln x)\ge x\ln y-ay\Rightarrow ay\ge x\ln y-x(1+\ln x)\Rightarrow a\ge \cfrac{x}{y}(\ln y-\ln x-1)$
$显然A,B不合题意。令x=1,y=e^2, \Rightarrow \cfrac{x}{y}(\ln y-\ln x-1)=\cfrac{1}{e^2}(\ln e^2-\ln 1-1)=\cfrac{1}{e^2}$
$令x=1,y=e^3, \Rightarrow \cfrac{x}{y}(\ln y-\ln x-1)=\cfrac{1}{e^3}(\ln e^3-\ln 1-1)=\cfrac{1}{e^3}(3-1)=\cfrac{2}{e^3},故选C选项$
$2026年新高考第6题$
$已知函数f(x)=\cfrac{x+2}{e^x+a}的最大值为1,则a=$
$A.\cfrac{1}{2}\quad B.2\quad C.\cfrac{3}{2}\quad D.2$
$解:题目中选项不含e，让f(x)的指数函数消失，令x=0\Rightarrow 1=\cfrac{0+2}{1+a}\Rightarrow a=1,选 B$
$法二:从选项中可知分母\gt 0,f(x)=\cfrac{x+2}{e^x+a}\le 1,\Rightarrow x+2\le e^x+a,\Rightarrow e^x+a\ge x+2$
$切线放缩有:e^x+a\ge x+1+a，即y=x+2与y=x+1+a为e^x+a的同一条切线$