如何由泰勒公式推导出欧拉公式

观察指数函数的泰勒展开式 $\quad e^x =1+x+\cfrac{x^2 }{2!}+\cfrac{x^3 }{3!}+\cfrac{x^4 }{4!}+\cfrac{x^ 5}{5!}+...+\cfrac{x^ n}{n!}\qquad ①$

正弦函数的泰勒展开式$\quad \sin x=x-\cfrac{x^ 3}{3!}+\cfrac{x^ 5 }{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9 }{9!}+...\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad ②$

余弦函数的泰勒展开式$\quad \cos x=1-\cfrac{x^2 }{2!}+\cfrac{x^4 }{4!}-\cfrac{x ^6}{6!}+\cfrac{x^8 }{8!}+...+\cfrac{x ^{2n}}{(2n)！}\qquad ③$

正弦函数两边i 得到 这里也是错误的。$\quad i \sin x=i (x-\cfrac{x^ 3}{3!}+\cfrac{x^ 5 }{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9 }{9!}+...\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})$

$右边=i x- i\cfrac{x^ 3}{3!}+i\cfrac{x^ 5 }{5!}-i\cfrac{x^7 }{7!}+i\cfrac{x^9 }{9!}+... i\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=ix+\cfrac{(ix)^ 3}{3!}+\cfrac{(ix)^ 5 }{5!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^9 }{9!}+...\cfrac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sin(ix)$

以上是错的。$i^2,i^6,i^{10},i^{14},+1换成i^4,i^8,i^{12},i^{16}\quad 得到 1+\cfrac{(ix)^2 }{2!}+\cfrac{(ix)^4 }{4!}+\cfrac{(ix) ^6}{6!}+\cfrac{(ix)^8 }{8!}+...+\cfrac{(ix) ^{2n}}{(2n)！})\quad 此时公式中的底由x变成ix即=\cos ix$

$指数函数e^x中的自变量用ix代换，即有e^{ix}=1+ix+\cfrac{(ix)^2 }{2!}+\cfrac{(ix)^3 }{3!}+\cfrac{(ix)^4 }{4!}+\cfrac{(ix)^ 5}{5!}+...+\cfrac{(ix)^ n}{n!}$

$\sin(ix)+\cos(ix)=e^{ix}$得证。以上有逻辑错误
${\color{Red} ②式两边乘以i,得\quad i\sin x= i(x-\cfrac{x^ 3}{3!}+\cfrac{x^ 5 }{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9 }{9!}+...\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!})}$
$={\color{Orange} ix+\cfrac{(ix)^ 3}{3!}+\cfrac{(ix)^ 5 }{5!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^9 }{9!}+...\cfrac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}}$
${\color{Red} ③式变形得\quad \cos x=1+\cfrac{(ix)^2 }{2!}+\cfrac{(ix)^4 }{4!}+\cfrac{(ix) ^6}{6!}+\cfrac{(ix)^8 }{8!}+...+\cfrac{(ix) ^{2n}}{(2n)！}\qquad}$

$把e^x中的x换成ix$，故有:$e^{ix}=1+ix+\cfrac{(ix)^2}{2!}+\cfrac{(ix)^3}{3!}+\cfrac{(ix)^4}{4!}+\cfrac{(ix)^5}{5!}+\cfrac{(ix)^6}{6!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^8}{8!}+\cfrac{(ix)^9}{9!}+\cfrac{(ix)^{10}}{10!}\newline+\cfrac{(ix)^{11}}{11!}+...+\cfrac{(ix)^n}{n!}$
$=1+\cfrac{(ix)^2}{2!}+\cfrac{(ix)^4}{4!}+\cfrac{(ix)^6}{6!}+\cfrac{(ix)^8}{8!}+\cfrac{(ix)^{10}}{10!}+...+ix+\cfrac{(ix)^3}{3!}+\cfrac{(ix)^5}{5!}+\cfrac{(ix)^7}{7!}+\cfrac{(ix)^9}{9!}+\cfrac{(ix)^{11}}{11!}+...$
$=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cfrac{x^8}{8!}-\cfrac{x^{10}}{10!}+ ...\newline+ix+i\cfrac{ i^2 x^3}{3!}+i\cfrac{i^4x^5}{5!}+i\cfrac{i^6x^7}{7!}+i\cfrac{i^8x^9}{9!}+i\cfrac{i^{10}x^{11}}{11!}+...+(-1)^{n+1} i\cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+\cfrac{x^8}{8!}-\cfrac{x^{10}}{10!}+...+(-1)^n \cfrac{(ix)^{2n}}{(2n)!}+\newline i(x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\cfrac{x^9}{9!}-\cfrac{x^{11}}{11!}+...+(-1)^{n+1} \cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$=\cos x +i \sin x$¹