对数糖水不等式

$\log_{a}{b} \lt \log_{a+m}{(b+m)} ,(a\gt b\gt 1,m\gt 0)$

$1、\cfrac{b}{a}\lt \cfrac{b+m}{a+m}\quad (a\gt b\gt 0,m\gt 0)$
a可以认为是糖水质量，b可以认为是糖水中的糖，a克的不饱和糖水里加放m克糖，糖水更甜了
$证明：\cfrac{b+m}{a+m}-\cfrac{b}{a}=\cfrac{a(b+m)-b(a+m)}{am}=\cfrac{m(a-b)}{a(a+m)}\gt 0,得证$

$2、对数糖水不等式:\log_{a}{b} \lt \log_{a+m}{(b+m)} ,(a\gt b\gt 1,m\gt 0)$

$证明：\log_{a}{b}=\cfrac{\lg_{}{b} }{\lg_{}{a} }=\cfrac{\lg{b}+\lg{\cfrac{a+m}{a}} }{\lg{a}+\lg{\cfrac{a+m}{a}}}\lt \cfrac{\lg{\cfrac{ab+am}{a}} }{\lg{(a+m)}} =\cfrac{\lg{(b+m)} }{\lg{(a+m)}} \lt \log_{a+m}{(b+m)}$
重点掌握证明过程，因为对数判断大小常用到此法。

$例1、20年全国三卷，已知5^5\lt 8^4,13^4\lt 8^5.$
$设a=\log_5{3},b=\log_8{5},c=\log_{13}{8},则(\qquad )$
$A.a\lt b\lt c\quad B.b\lt a\lt c\quad C.b\lt c\lt a\quad D.c\lt a\lt b$
$a=\log_5{3}=\cfrac{\lg 3}{\lg 5}\lt \cfrac{\lg 3+\lg \cfrac{8}{5} }{\lg 5+\lg \cfrac{8}{5} }= \cfrac{\lg \cfrac{24}{5} }{\lg 8 }\lt\cfrac{\lg \cfrac{25}{5} }{\lg 8 }= \cfrac{\lg 5 }{\lg 8 }=b=\log_8{5}$

$5^5\lt 8^4两边取8为底的对数,\log_{8}{5^5} \lt \log_{8}{8^4}=4\Rightarrow \log_{8}{5}\lt \cfrac{4}{5}$
$13^4\lt 8^5两边取13为底的对数,\log_{13}{13^4} \lt \log_{13}{8^5}=4\Rightarrow 4\lt 5\log_{13}{8}$
$\log_{8}{5}\lt \cfrac{4}{5}\lt \log_{13}{8}$

$例2、已知a=\log_2{3},b=\log_3{4},c=a=\log_4{5},则(\qquad)$
$A.c\lt b\lt a\quad B.b\lt a\lt c\quad C.a\lt b\lt c\quad D.b\lt c\lt a$
方法一：对数糖水不等式
$ \log_3{2}\lt\log_4{3}\lt \log_5{4}\Rightarrow \cfrac{1}{a}\lt \cfrac{1}{b}\lt \cfrac{1}{c}\Rightarrow a\gt b\gt c$
方法二：$令f(x)=\log_x{(x+1)}=\cfrac{\ln (x+1)}{\ln x},x\gt 1$,必修一课本有此题
${f}' (x)=\cfrac{\cfrac{\ln x}{x+1}-\cfrac{\ln (x+1)}{x}}{\ln ^2x} =\cfrac{x\ln x-(x+1)\ln (x+1)}{x(x+1)\ln ^2x}\lt 0,f(x)\searrow$

$例3、已知9^m=10,a=10^m-11,b=8^m-9,则(\qquad)$
$A.a\gt 0\gt b\quad B.a\gt b\gt 0\quad C.b\gt a\gt 0\quad D.b\gt 0\gt a$
$a=10^m-11=10^m-10-1$
$0=9^m-10=9^m-9-1$
$b=8^m-9=8^m-8-1$
$构造函数f(x)=x^m-x-1\quad x\gt 1,m\gt 1,{f}' (x)=mx^{m-1}-1\gt 0$,
$a\gt 0\gt b$