内准圆

内准圆：$ A,B为椭圆/双曲线上两点， O为中心，且 OA\bot OB，过点 O作AB的垂线，垂足为H, |OH|为定值，$
$点H的轨迹为圆x^2+y^2=\cfrac{1}{\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}}=\cfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},称为内准圆(PS:双曲线在离心率大于\sqrt{2}时才有内准圆)，AB是内准圆的切线$
$性质1:\cfrac{1}{|OA|^2}+\cfrac{1}{|OB|^2}=\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}$
$证明：设椭圆\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1,|OA|＝m,|OB|=n,A(m\cos \theta,m\sin \theta ),B(n\cos (\theta+\cfrac{\pi}{2}),n\sin(\theta+\cfrac{\pi}{2}))=(-n\sin \theta,n\cos \theta)$
$\cfrac{m^2\cos^2 \theta}{a^2}+\cfrac{m^2\sin^2 \theta }{b^2}=1\Rightarrow \cfrac{1}{m^2}=\cfrac{\cos^2 \theta}{a^2}+\cfrac{\sin^2 \theta }{b^2}$
$\cfrac{n^2\sin^2 \theta}{a^2}+\cfrac{n^2\cos^2 \theta }{b^2}=1\Rightarrow \cfrac{1}{n^2}=\cfrac{\sin^2 \theta}{a^2}+\cfrac{\cos^2 \theta }{b^2}$
$:\cfrac{1}{|OA|^2}+\cfrac{1}{|OB|^2}=\cfrac{1}{m^2}+\cfrac{1}{n^2}=\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1 }{b^2}\quad $
$性质2:垂足H的轨迹为 x^2+y^2=\cfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$
$证明(运用等面积代换),S_{\triangle OAB}=\cfrac{1}{2}|OA||OB|=\cfrac{1}{2}|AB||OH|\Rightarrow |OH|=\cfrac{|OA|OB|}{|AB|}$
$x^2+y^2=|OH|^2=\cfrac{|OA|^2|OB|^2}{|AB|^2}=\cfrac{|OA|^2|OB|^2}{|OA|^2+|OB|^2}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{|OA|^2}+\cfrac{1}{|OB|^2}}=\cfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$即直角三角形直角边与斜边高的关系

例1、直线交椭圆$\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1于A、B，过原点作垂线交A,B于点P,|OP|=1$,是否存在直线$l使|AP||PB|=1$成立？若存在，求出$l$的方程；若不存在，请说明理由。
$解：由射影定理|AP||PB|＝|OP|^2，可知OA\perp OB,$然后用证明性质1的方法，证明$\cfrac{1}{OA^2}+\cfrac{1}{OB^2}=\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{3}=\cfrac{7}{12}$再用等面积法，得到直角三角形斜边上的高与两直角边的关系，得到$|OP|^2=\cfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}=\cfrac{12}{7}$
这与$|OP|=1矛盾，所以不存在符合题意的直线l$

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例2、2009年山东设椭圆$E:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt 0)过M(2,\sqrt{2}),N(\sqrt{6},1),Ｏ$为坐标原点。
①求E的方程；
②是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点$A、B,且OA\perp OB$?若存在，写出该圆的方程，并求$|AB|$的取值范围，若不存在，请说明理由。
解：①$\begin{cases} \cfrac{4}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}=1\\ \cfrac{6}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}=1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \cfrac{x^2}{8}+\cfrac{y^2}{4}=1\end{cases}$
②设$|OA|=m,|OB|=n,|OA|的倾斜角为\theta，|OB|的倾斜角为\theta+\cfrac{\pi}{2}$
$A(m\cos \theta ,m\sin \theta),B[n\cos(\theta+\cfrac{\pi}{2}),n\sin (\theta+\cfrac{\pi}{2})]=(-n\sin \theta,n\cos \theta)$
$\begin{cases} \cfrac{(m\cos \theta)^2}{8}+\cfrac{(m\sin \theta)^2}{4}=1\\ \cfrac{(n\sin \theta)^2}{8}+\cfrac{(n\cos \theta)^2}{4}=1\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \cfrac{\cos^2 \theta}{8}+\cfrac{\sin^2 \theta}{4}=\cfrac{1}{m^2}=\cfrac{1}{|OA|^2}\\ \cfrac{\sin^2 \theta}{8}+\cfrac{\cos^2 \theta}{4}=\cfrac{1}{n^2}=\cfrac{1}{|OB|^2}\end{cases}$
$ \Rightarrow \cfrac{1}{|OA|^2}+\cfrac{1}{|OB|^2}=\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{8}$
$Rt\triangle OAB,AB边为所求内准圆的切线，O到AB的垂足M(x,y)为所求的圆上的一点。$
容易得到$x^2+y^2=|OM|^2=\cfrac{|OA|^2|OB^2|}{|AB|^2}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{OA^2}+\cfrac{1}{OB^2}}=\cfrac{8}{3}$
$|AB|^2=|OA|^2+OB^2|=(|OA|^2+|OB^2|)\cdot [\cfrac{1}{|OA|^2}+\cfrac{1}{|OB|^2}]\cdot\cfrac{8}{3}$
$=\cfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot (\cfrac{OA^2}{OB^2}+\cfrac{OB^2}{OA^2}+2)$
$令t=\cfrac{OA^2}{OB^2},t\in [\cfrac{b^2}{a^2},\cfrac{a^2}{b^2}],即t\in[\cfrac{1}{2},2]$
$AB^2=f(t)=\cfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\cdot (t+\cfrac{1}{t}+2)\quad $由对勾函数性质可知，$t=1时f(t)$取得最小值$f(t)=\cfrac{8}{3}\times 4=\cfrac{32}{3};t=\cfrac{1}{2}或2时，f(t)$取得最大值,$f(t)=\cfrac{8}{3}\times \cfrac{9}{2}=12$
$故|AB|取值范围[\cfrac{4}{3}\sqrt{6},2\sqrt{3}]$

$双曲线的内准圆设M,N在双曲线\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(b\gt a\gt 0)上，且有OM\perp ON，则：$
$①圆x^2+y^2=\cfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}与直线MN相切，这里的圆称为双曲线的内准圆$
$②\cfrac{1}{|OM|^2}+\cfrac{1}{|ON|^2}=\cfrac{1}{a^2}-\cfrac{1}{b^2}为定值。$

双曲线的外准圆设双曲线$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt 0)外有一点P$，过点$P$的双曲线的两条切线相互垂直，则$P的轨迹是圆x^2+y^2=a^2-b^2$,这里的圆称为双曲线的外准圆，或者蒙日圆。