二阶行列式的几何意义

$\vec{u} 和\vec{v}$为邻边张成的平行四边形，可以通过向量的叉积的大小来计算其面积。在二维中，叉积的大小实际上就是行列式的绝对值。
$\begin{vmatrix}x_1 & y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1$
$\left | \begin{vmatrix}x_1 & y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix} \right | =\left | x_1y_2-x_2y_1 \right | $
证明法一：
从几何上，平行四边形的面积可以通过底乘高来计算。假设以$\vec{u}$为底，那么高是$\vec{v}$在垂直于的方向上的投影长度。$设\vec{u} =(a,c)和\vec{v}=(b,d)。平行四边形面积A为：$
$$A=\left | \vec{u} \right | \left | \vec{v} \right | \left | \sin \theta \right |$$

$底长=\sqrt{a^2+c^2} \cdot ，高是\vec{v}$在垂直于的方向上的投影长度
$垂直于\vec{u}的单位向量是\vec{n}=\cfrac{(-c,a)}{\sqrt{a^2+c^2} } ,所以高为\left | \vec{v}\cdot \vec{n}\right |= \left | \cfrac{-bc+ad}{\sqrt{a^2+c^2} } \right |$
$A= \left | \vec{u} \right | \left |\vec{v}\cdot \vec{n} \right | =\sqrt{a^2+c^2} \cdot \left | \frac{-bc+ad}{\sqrt{a^2+c^2} } \right |=\left | -bc+ad \right |$

法二：
$A^2=\left | \vec{u} \right | ^2 \left | \vec{v} \right | ^2-( \vec{u} \cdot \vec{v} )^2=(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2=a^2d^2+b^2c^2-2abcd=(ad-bc)^2$
代入坐标即可。
法二也是证明平方和恒等式${\color{Green} (a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ab+cd)^2+(ad-bc)^2} $的方法。
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