1.斜率之积为定值
大家还记得这道题的考点吗：$椭圆 \cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1 上存在三点A(x_0,y_0),M,N，且满足k_{AM}k_{AN}=\lambda ，$
$\lambda \ne\cfrac{a^2}{b^2},那么直线过定点P(tx_0,-ty_0)(t=\cfrac{a^2\lambda +b^2}{a^2\lambda -b^2})$。
证明方法，用平移齐恣法。
2.斜率之和为定值
下面让我们转换视角，看看斜率之和为定值的情况：
$椭圆\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1 上存在三点A(x_0,y_0),M,N，且满足k_{AM}+k_{AN}=\lambda (\lambda \ne0)，$
$那么直线过定点P(x_0-\cfrac{2y_0}{\lambda},-y_0+\cfrac{2(e^2-1)x_0}{\lambda})=(x_0-\cfrac{2y_0}{\lambda},-y_0-\cfrac{2b^2x_0}{a^2\lambda})$。
$证明：记k_1=k_{AM},k_2=k_{AN}$
$作平移变换：\begin{cases} {x}'=x-x_0\\\quad\\{y}'=y-y_0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x={x}'+x_0\\\quad \\y={y}'+y_0 \end{cases}$
$使得A(x_0,y_0)成为新坐标系的原点{A}'(0,0)$
$\cfrac{x^2}{a^2}+ \cfrac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow \cfrac{({x}'+x_0)^2}{a^2}+ \cfrac{({y}'+y_0)^2}{b^2}=1$
$a^2{y}'^2+2(b^2x_0{x}'+a^2y_0{y}')+b^2{x}'^2=0$
$平移后的直线{M}'{N}':m{x}'+n{y}'=1,上式一次项乘上m{x}'+n{y}',$
$a^2{y}'^2+2(b^2x_0{x}'+a^2y_0{y}')(m{x}'+n{y}')+b^2{x}'^2=0$
$\Rightarrow a^2(1+2ny_0){y}'^2+2(nb^2x_0+ma^2y_0){x}'{y}'+b^2(1+2mx_0){x}'^2=0$
$除以{x}'^2,得a^2(1+2ny_0)\cfrac{{y}'^2}{{x}'^2}+2(nb^2x_0+ma^2y_0)\cfrac{{y}'}{{x}'}+b^2(1+2mx_0)=0$
$\Rightarrow a^2(1+2ny_0){k}'^2+2(nb^2x_0+ma^2y_0){k}'+b^2(1+2mx_0)=0$
$由韦达定理，得{k_1}' +{k_2}' =-\cfrac{2(nb^2x_0+ma^2y_0)}{a^2(1+2ny_0)},{k_1}' {k_2}' =\cfrac{b^2(1+2mx_0)}{a^2(1+2ny_0)}$

1.斜率之积为定值:
${k_1}' {k_2}' =\cfrac{b^2(1+2mx_0)}{a^2(1+2ny_0)}=\lambda:t=\cfrac{b^2}{a^2\lambda},$
$则：t(1+2mx_0)=1+2ny_0\Rightarrow n=\cfrac{t(1+2mx_0)-1}{2y_0}$
$所以，m{x}'+n{y}'=1\Rightarrow m{x}'\cfrac{t(1+2mx_0)-1}{2y_0}{y}'=1$
$因为 m是设出来的参数，而我们要找的是直线 {M}'{N}'所过的定点，也就是要找到关于$
${x}',{y}'的恒等式，那就要消掉参数m，也就是让和 m相乘的式子等于 0，$
所以整理式子得：$ m({x}'+\cfrac{x_0t}{y_0}{y}')+\cfrac{t-1}{2y_0}{y}'=1$，
$\begin{cases} \cfrac{t-1}{y_0}{y}'=0\\ \quad \\{x}'+\cfrac{x_0t}{y_0}{y}'=0\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} {y}'=\cfrac{2y_0}{t-1}\\ \quad \\{x}'=\cfrac{2x_0t}{1-t}\end{cases}再代入 \begin{cases} x={x}'+x_0\\ \quad \\y={y}'+y_0\end{cases}\Rightarrow $
$\begin{cases} x=\cfrac{2x_0t}{1-t}+x_0=\cfrac{t+1}{1-t}x_0=\cfrac{x_0(b^2+\lambda a^2)}{a^2\lambda -b^2}\\ \quad \\y=\cfrac{2y_0}{t-1}+y_0=\cfrac{t+1}{t-1}y_0=\cfrac{y_0(b^2+\lambda a^2)}{-(a^2\lambda -b^2)}\end{cases}\Rightarrow$

$也就是说直线MN过定点P(\cfrac{x_0(b^2+\lambda a^2)}{a^2\lambda -b^2},\cfrac{y_0(b^2+\lambda a^2)}{-(a^2\lambda -b^2)})$

2.斜率之和为定值$\lambda$
$斜率之和{k_1}' +{k_2}' =-\cfrac{2(nb^2x_0+ma^2y_0)}{a^2(1+2ny_0)}=\lambda:记t=\cfrac{b^2}{a^2}$
$则：nb^2x_2+ma^2y_0=\cfrac{\lambda a^2(1+2ny_0)}{-2}\Rightarrow m=\cfrac{\lambda(\cfrac{1}{2}+ny_0)+ntx_0}{-y_0},$
$m{x}'+n{y}'=1,所以,\Rightarrow \cfrac{\lambda(\cfrac{1}{2}+ny_0)+ntx_0}{-y_0}{x}'+n{y}'=1$
$因为 n是设出来的参数，而我们要找的是直线 {M}'{N}'所过的定点，也就是要找到关于$
${x}',{y}'的恒等式，那就要消掉参数n，也就是让和 n相乘的式子等于 0，$
所以，整理式子得：$n[{y}'-(\lambda+\cfrac{tx_0}{y_0}{x}')]-\cfrac{\lambda}{2y_0}{x}'=1$
$\begin{cases} {x}'=-\cfrac{2y_0}{\lambda } \\{y}'=-2(y_0+\cfrac{tx_0}{\lambda } ) \end{cases}$再代入$\begin{cases} x={x}'+x_0\\ \quad \\y={y}'+y_0\end{cases}\Rightarrow $
$\begin{cases} x=-\cfrac{2y_0}{\lambda } +x_0\\ \quad \\y=-2(y_0+\cfrac{tx_0}{\lambda } )+y_0\end{cases}$
也就是说直线MN过定点$P(x_0-\cfrac{2y_0}{\lambda},-y_0+\cfrac{2(e^2-1)x_0}{\lambda})=(x_0-\cfrac{2y_0}{\lambda},-y_0-\cfrac{2b^2x_0}{a^2\lambda})$

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