题目几个

$1、a,b,c\gt 0且不等1,求证a^{\log_{b}{c}}=c^{\log_{b}{a}} $
$对式子左边取以b为底的对数，有\log_{b}(a^{\log_{b}{c}})=\log_{b}{a}\log_{b}{c}$
$对式子右边取以b为底的对数，有\log_{b}(c^{\log_{b}{a}})=\log_{b}{c}\log_{b}{a}$

$2、x,y\gt 0,且x+2y+\sqrt{xy} =2,求x+3y的最小值$
$x+2y+\sqrt{xy} =\le x+2y+\frac{1}{2}( ax+\frac{y}{a}) =(1+\frac{a}{2} )x+(2+\frac{1}{2a} )y$
$3、已知函数f(x)=(x\in\mathbb{ R} )满足f(x)+f(4-x)=0,若函数f(x)与y=\frac{1}{x-2}$
$图象的交点横坐标分别为x_1,x_2,\dots ,x_n,则x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=(\quad)$
$A.4n \quad B.2n\quad C.n\quad D.0$
交点数量为偶数。
$4、已知实数x,y满足\ln_{}{(2x+y)} -e^{x+2y}-x+y+2\ge 0,则x+y的值为(\quad )$
$A.1\quad B.\cfrac{2}{3} \quad C.\cfrac{1}{3} D.\cfrac{1}{5} $
$双换元,令a=2x+y,b=x+2y\Rightarrow x=\cfrac{2a-b}{3},y=\cfrac{2b-a}{3},C$
$5、若a\gt b\gt 0,且a^3-b^3=a^2-b^2,则\cfrac{1}{a} +\cfrac{1}{b}的取值范围是(\quad )$
$A.(1,\cfrac{4}{3}) \quad B.(\cfrac{4}{3},+\infty) \quad C.(1,3) \quad D.(3,+\infty)$