数列不等式
$1、证明:{\color{Green} \cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2} +\cfrac{1}{3^2}+\dots ++\cfrac{1}{n^2}\lt 2} $
$2、证明:{\color{Green} \cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2} +\cfrac{1}{3^2}+\dots ++\cfrac{1}{n^2}\lt \cfrac{7}{4} } $
$3、证明:{\color{Green} \cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2} +\cfrac{1}{3^2}+\dots ++\cfrac{1}{n^2} \lt \cfrac{5}{3} }$
这数列显然是没办法直接求和的，欧拉已证明当$n\to +\infty时，级数\sum_{n}^{i=1} \cfrac{1}{i^2}=\cfrac{\pi^2}{6}$
$1、{\color{Green}\cfrac{1}{n^2}=\cfrac{1}{n\cdot n}\lt \cfrac{1}{n^2-n}=\cfrac{1}{n\cdot (n-1)}= } \cfrac{1}{n-1}- \cfrac{1}{n}(n\ge 2)$
$原式\lt 1+(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3} )+(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4} )+\dots +(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n} )\lt 2-\cfrac{1}{n}\lt 2$
$2、{\color{Green}\cfrac{1}{n^2}\lt \cfrac{1}{n^2-1}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1} )\quad (n\ge 2)}$
$原式\lt 1+\cfrac{1}{2}[(1-\cfrac{1}{3})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4})+ (\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}) +(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6})+\dots +(\cfrac{1}{n-2}-\cfrac{1}{n})-(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n+1})]$
$=1+\cfrac{1}{2}(1+\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{n}--\cfrac{1}{n+1}) \lt 1+\cfrac{3}{4}=\cfrac{7}{4} $
$3、 {\color{Green}\cfrac{1}{n^2}\lt \cfrac{1}{n^2-\cfrac{1}{4} }=\cfrac{1}{n-\cfrac{1}{2} }-\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{2} } \quad n\ge 2}$
$原式=\color{Green} \cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2} +\cfrac{1}{3^2}+\dots +\cfrac{1}{n^2}\lt 1+(\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2}} )+(\cfrac{1}{3-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{2}})(\cfrac{1}{4-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{2}} )+\dots +(\cfrac{1}{n-\cfrac{1}{2}}-\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{2}} )$
$= 1+(\cfrac{1}{\cfrac{3}{2} } -\cfrac{1}{\cfrac{5}{2} } )+(\cfrac{1}{\cfrac{5}{2} } -\cfrac{1}{\cfrac{7}{2} } )+(\cfrac{1}{\cfrac{7}{2} } -\cfrac{1}{\cfrac{9}{2} } )+\dots +(\cfrac{1}{\cfrac{2n-1}{2} } -\cfrac{1}{\cfrac{2n+1}{2} } )$
$= 1+(\cfrac{1}{\cfrac{3}{2} } -\cfrac{1}{\cfrac{2n+1}{2} } )\lt \cfrac{5}{3} $
$4、求证：\cfrac{1}{3} +\cfrac{1}{5} +\cfrac{1}{7} +\dots +\cfrac{1}{2n+1} \lt \ln (n+1)$
分析：按照常规做法，观察到左边共有$n项，于是我们尝试将右边的\ln(n+1)分解为一个n项式，再逐一比较。$
按常规拆分有：
$\ln (n+1)=\ln (\cfrac{n+1}{n})+\ln (\cfrac{n}{n-1})+\ln (\cfrac{n-1}{n-2})+\dots+\ln \cfrac{2}{1}$
只需要证明：$\ln (\cfrac{n+1}{n})\gt \cfrac{1}{2n+1}$
$\Leftrightarrow \ln (1+\cfrac{1}{n})\gt \cfrac{\cfrac{1}{n}}{2+\cfrac{1}{n}} $
$换元令x=\cfrac{1}{n}+1\quad x\gt 1,即证明:\ln x\gt \cfrac{x-1}{x+1}$
这里略去求导过程，直接用常规放缩即证得。
$\ln x\gt 2\cdot \cfrac{x-1}{x+1} \gt \cfrac{x-1}{x+1} \quad x\gt 1$
实际上，大多数列不等式的题都是像这样，将一项拆为多项再逐一比较大小。
回看反思这种做数列不等式题的常规方法，我想：我们很擅长比较两个初等函数函数的大小，求导即可。
把一项拆分成多项的原因是无法找到LHS的初等函数表达式。（何况LHS是发散的）
于是我们可以通过积分放缩来找到左边的近似函数。
积分放缩：
以此题为例， LHS每一项的数值都在函数$f(x)=\cfrac{1}{2n+1}$上。则：
$LHS=1\times f(1)+1\times f(2)+1\times f(3)+\dots +1\times f(n)$
$LHS\lt \int_{0}^{n} f(x)\mathrm{d}x=[\cfrac{1}{2}\ln (2n+1) ]_{0}^{n} = \cfrac{1}{2}\ln (2n+1) $
即证明：
$\cfrac{1}{2}\ln (2n+1)\lt \ln (n+1)$
$\ln (2n+1)\lt \ln (n+1)^2=\ln (n^2+2n+1)$
解答题当然不能这样写，写出来可能就得一分辛苦分。
但是部分小题可以用，比如下面这道题：