椭圆的二级结论

1、椭圆第三定义：$A,B为椭圆上对称的两定点，P为动点，若则k_{PA},k_{PB}\exists ,则有k_{PA}k_{PB}=e^2-1=-\cfrac{b^2}{a^2}$
2、椭圆中垂径定理：$Ｍ为弦AB的中点，P为动点，若则k_{AB},k_{OM}\exists ,则有k_{AB}k_{OM}=e^2-1=-\cfrac{b^2}{a^2}$,
用点差法证明
2、l为椭圆上点Ｍ的切线：$若则k_{l},k_{OM}\exists ,则有k_{L}k_{OM}=e^2-1=-\cfrac{b^2}{a^2}$,
用点差法证明

椭圆的两个焦半径公式：
$①|PF_1|=a+ex_p;|PF_２|=a-ex_p;$左加右减
$②|PF|=\frac{b^2}{a-c\cos \theta } =\cfrac{b^2}{a}\cfrac{1}{1-e\cos \theta} $
$\theta为焦半径与Ｆ_1F_2之间的夹角$
①由椭圆第二定义得到；②式由余弦定理推导。

常用的最值范围
$①|PF_1|_{max}=a+c,|PF_1|_{min}=a-c;a+ex_p,x_p\in [-a,a]$
$②|\overrightarrow{PF_1}|\times|\overrightarrow{PF_2}|=a^2-e^2x_p^2\quad \in [b^2,a^2]$
$③\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2} =|OP|^2-|OF_2|^2\in [b^2-c^2,b^2]$
(极化恒等式)
$④\angle F_1PF_{2max}\Rightarrow 顶点P在上下顶点时；\angle F_1PF_{2min}\Rightarrow 顶点P在左右顶点时。$

焦点三角形公式：
$S_{\triangle PF_1F_2}=b^2\tan \cfrac{\theta }{2}$
$\theta$ 为焦点三角形顶角，用余弦定理+三角形面积公式证之
双曲线的焦点三角形面积公式：$S_{\triangle PF_1F_2}=\cfrac{b^2}{\tan \cfrac{\theta }{2}}$

切线方程与切点弦方程
$①点P(x_０,y_０)在椭圆上，则过Ｐ点且与椭圆相切的直线方程为:\cfrac{x_0x}{a^2}+\cfrac{y_0y}{b^2}=1$
证明 见https://one.free.nf/index.php/archives/259/例二
$②若P(x_０,y_０)在椭圆外，则过点P作椭圆的两条切线，切点为P_1,P_2,则切点弦P_1P_2的直线方程为\cfrac{x_0x}{a^2}+\cfrac{y_0y}{b^2}=1$
这里的直线方程其实也是点P关于椭圆的极线方程。