恒成立求参范围

$题目一：F(x)=\ln (x+1)-\cfrac{ax}{x+1}\ge 0(x\ge 0)恒成立,求a的取值范围。$
$法一：半分离参数：$
$ F(x)=\ln (x+1)-\cfrac{ax}{x+1}(x\ge 0)\Rightarrow \ln (x+1\ge \cfrac{ax}{1+x}\Rightarrow (x+1)\ln (x+1)\ge ax$
$(x+1)\ln (x+1)是六大超函数之一的x\ln x,往左移动一个单位。容易得到x\ln x在(1,+\infty)是单调递增的，且x\ln x是凹函数$
$右侧函数=ax是过原点的直线，当它的斜率\le x\ln x在原点的切线斜率时成立。$
$x\ln x 在(1,0)的切线斜率即(x+1)\ln (x+1)在原点处的切线斜率，f(x)=x\ln x,{f}' (x)=\ln x +1\Rightarrow a\le {f}' (1)=1$
$此法宜用于填空及选择题。$

$法二：{F}' (x)=\cfrac{1}{x+1}-\cfrac{a}{(x+1)^2}=\cfrac{x+1-a}{(x+1)^2}\quad (x\ge0)$
$令x+1-a=0\Rightarrow x=a-1$
$①若a-1\le 0時，{F}' (x)\ge 0,F(x)在x\in [0,+\infty)\nearrow F(x)\ge F(0)=0;$
$②若a-1\gt 0時，x\in (0,a-1){F}' (x)\lt 0,F(x)\searrow ;x\in (a-1,+\infty),{F}' (x)\gt 0,F(x)\nearrow;$
$F(x)\ge F(a-1)=\ln (a-1+1)-\cfrac{a(a-1)}{1+a-1}=\ln a-a+1$
$设g(a)= \ln a-a+1\quad (a\gt 1)，{g}'(a)=\cfrac{1}{a} -1 \lt 0\Rightarrow g(a)\searrow$
$g(a)\le g(1)=0,即F(x)\ge g(a)与F(x)\ge 0矛盾。$
$综上述，a\le 1时，F(x)\ge 0$

必要性探路

$第二问等价于x\ge \cfrac{1}{e^2}时，f(x)=a\ln x,g(x)=\cfrac{\sqrt{x} }{2a} -\sqrt{1+x}$
$\begin{cases} f(x_0)=g(x_0)\\{f}'(x_0) ={g}' (x_0)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a\ln x_0=\cfrac{\sqrt{x_0} }{2a} -\sqrt{1+x_0} \\\cfrac{a}{x_0} =\cfrac{1}{4a\sqrt{x_0} }-\cfrac{1}{2\sqrt{x_0+1} } \end{cases}$
$令x_0=1,容易解得：\begin{cases} a=\cfrac{\sqrt{2} }{4} \\x_0=1\end{cases}此时x_0=1不就是我们需要的探路点吗？比起直接令x=1，这样子$
$是不是比单纯的猜更加让人信服？$
$另外，有些小伙伴可能会想到一个问题，倘若切出了多条公切线怎么办呢？事实上，我们只需要一个个排除就可以了，$
$反正有一个范围是符合要求的，但是如果碰到了无数个点符合那怎么办呢，下面给出一个简单的例题供大家领会。$

$x\gt 0,f(x)=\cfrac{\cos x}{x},g(x)=\sin x-ax,f(x)\ge g(x). $
探路点求解过程如下:
$\begin{cases} f(x_0)=g(x_0)\\{f}'(x_0) ={g}' (x_0)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} \cos x_0=x_0\sin x_0-ax_0^2\\ \cfrac{-x_0\sin x_0-\cos x_0}{x_0^2}=\cos x_0-a \end{cases}\Rightarrow 2\cos x_0=-x^2\cos x_0\Rightarrow \cos x_0=0$
$\Rightarrow x_0=\cfrac{\pi}{2}+k\pi $
$这个时候出现了无穷多组解，此时显然是不可能通过验证得到答案的，那怎么样解决呢，事实上这个题目并不是无穷多组解，$
$而是方程解的不够严谨，导致解出了多个不正确的解。具体是这样的，当得到\cos x_0=0时，我们应该将\cos x_0=0代回原方程，$
$从而得到a=\cfrac{1}{x_0},而在（0，\cfrac{\pi}{2}]上有g(x)\gt (\cfrac{2}{\pi}-a)x,，所以a\lt \cfrac{2}{\pi}时，g(\cfrac{\pi}{2}) \gt 0,，$
$此时显然不符合，故x=pi／2时其实是唯一满足公切点方程的点。其实当x=\cfrac{3\pi}{2}时，在第一个点可能就不满足相切了。$

$显然的，这种情况是不满足的。所以我们的探路点应该取\cfrac{\pi}{2}，然后得到a的满园从而验证这是最佳范围，这样一来，取点是不是就理所应当的了。$
$例题：已知函数f(x)=e^x-k(e-1)x。$
$(1)若函数f(x)有两个零点，求实数k的取值范围；$
$(2)若f(x)-kx\ln x\ge 1在(0,+\infty)上恒成立，求实数k的取值范围。$
$作凹凸反转即令凹函数f(x)=\cfrac{e^-1}{x},凸函数g(x)=\ln x+e-1，它们的公切点即为所求的探路点。$