圆锥曲线的极点极线
$共有四部份内容：$
$㈠极点极线与“四线一方程”$
$㈡极点极线与"自极三角形"$
$㈢极点极线与“调和点列”$
$㈣极点极线与高考命题$
㈠极点极线与“四线一方程”
$椭圆的“四线一方程”$
$已知椭圆E:\cfrac{x^2}{a^2} +\cfrac{y^2}{b^2}=1 \quad(a\gt b\gt0),对椭圆方程作如下变换：$
$二次项：x^2\to x_0x,y^2\to y_0y,得到直线\cfrac{x_0x}{a^2}+\cfrac{y_0y}{b^2}=1,记为H(x,y)=0;$
$则直线l: H(x,y)=0，有如下性质：$
$①当M(x_0,y_0)在椭圆E上时，l为M关于椭圆E的切线方程；$
$②当M(x_0,y_0)在椭圆E外时，l为M关于椭圆E的切点弦方程；$
$③当M(x_0,y_0)在椭圆E内上时，l为M关于椭圆E的切线交点轨迹方程；$
$④当M(x_0,y_0)在椭圆E内上时，H(x,y)-H(x_0,y_0)=0是M关于椭圆E的中点弦方程(M为弦的中点)；$
$圆的“四线一方程”$
$已知圆的方程C：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\quad (D^2+E^2-4F\gt 0),点M(x_0,y_0), 对圆的方程作如下变换：$
$二次项x^2\to x_0x,y^2\to y_0y,一次项x\to \cfrac{x_0+x}{2},y\to \cfrac{y_0+y}{2},$
$得到直线l：x_0x+y_0y+D\cfrac{x_0+x}{2}+E\cfrac{y_0+y}{2}+F=0，记为记为H(x,y)=0;则直线l: H(x,y)=0，有如下性质：$
$①当M(x_0,y_0)在圆C上时，l为M关于圆C的切线方程；$
$②当M(x_0,y_0)在圆C外时，l为M关于椭圆E的切点弦方程；$
$③当M(x_0,y_0)在圆C内上时，l为M关于圆C的切线交点轨迹方程；$
$④当M(x_0,y_0)在圆C内上时，H(x,y)-H(x_0,y_0)=0是M关于圆C的中点弦方程(M为弦的中点)；$
$双曲线的“四线一方程”$
$已知双曲线E:\cfrac{x^2}{a^2} -\cfrac{y^2}{b^2}=1 \quad(a\gt b\gt0),对双曲线方程作如下变换：$
$二次项：x^2\to x_0x,y^2\to y_0y,得到直线\cfrac{x_0x}{a^2}-\cfrac{y_0y}{b^2}=1,记为H(x,y)=0;$
$则直线l: H(x,y)=0，有如下性质：$
$①当M(x_0,y_0)在双曲线E上时，l为M关于双曲线E的切线方程；$
$②当M(x_0,y_0)在双曲线E外时，l为M关于双曲线E的切点弦方程；$
$③当M(x_0,y_0)在双曲线E内上时，l为M关于双曲线E的切线交点轨迹方程；$
$④当M(x_0,y_0)在双曲线E内上时，H(x,y)-H(x_0,y_0)=0是M关于双曲线E的中点弦方程(M为弦的中点)；$
$抛物线的“四线一方程”$
$已知抛物线E:y^2=2px \quad(p\gt0),对抛物线方程作如下变换：$
$二次项x^2\to x_0x,y^2\to y_0y,一次项x\to \cfrac{x_0+x}{2},y\to \cfrac{y_0+y}{2},$
$得到直线l:y_0y=p(x+x_0),则直线l: H(x,y)=0，有如下性质：$
$①当M(x_0,y_0)在抛物线E上时，l为M关于抛物线E的切线方程；$
$②当M(x_0,y_0)在抛物线E外时，l为M关于抛物线E的切点弦方程；$
$③当M(x_0,y_0)在抛物线E内上时，l为M关于抛物线E的切线交点轨迹方程；$
$④当M(x_0,y_0)在抛物线E内上时，H(x,y)-H(x_0,y_0)=0是M关于抛物线E的中点弦方程(M为弦的中点)；$
$二次曲线的“四线一方程”$
$已知二次曲线G:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,对二次曲线方程作如下变换：$
$二次项x^2\to x_0x,y^2\to y_0y,xy\to \cfrac{x_0y+xy_0}{2}一次项x\to \cfrac{x_0+x}{2},y\to \cfrac{y_0+y}{2},$
$得到直线l:Ax_0x+B\cfrac{x_0y+xy_0}{2}+Cy_0y+D\cfrac{x_0+x}{2}+E\cfrac{y_0+y}{2}+F=0则直线l: H(x,y)=0，有如下性质：$
$①当M(x_0,y_0)在二次曲线G上时，l为M关于二次曲线G的切线方程；$
$②当M(x_0,y_0)在二次曲线G外时，l为M关于二次曲线G的切点弦方程；$
$③当M(x_0,y_0)在二次曲线G内上时，l为M关于二次曲线G的切线交点轨迹方程；$
$④当M(x_0,y_0)在二次曲线G内上时，H(x,y)-H(x_0,y_0)=0是M关于二次曲线G的中点弦方程(M为弦的中点)；$
极点极线的调和点列定义
$过不在二次曲线上的一点P作直线l交二次曲线于M,N两点，则在l上有一点Q，使得\cfrac{PM}{PN}=\cfrac{QM}{QN}, 当绕着点P旋转时，$
$Q的轨迹是一条直线p（或直线一部分）,这条直线p叫做点P的关于二次曲线的极线，而P叫做p关于该曲线的极点。$
射影几何、交比、调和点列
$\cfrac{\overrightarrow{AC} }{\overrightarrow{AD} } 与\cfrac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BD}}之比，叫做交比。$
1、交比具有身影不变性；
$\cfrac{AC}{AD} /\cfrac{BC}{BD}=\cfrac{\cfrac{1}{2} S_{\triangle AOC}}{\cfrac{1}{2} S_{\triangle AOD}} /\cfrac{\cfrac{1}{2} S_{\triangle BOC}}{\cfrac{1}{2} S_{\triangle BOD}}=\cfrac{\cfrac{1}{2} OA\cdot OC\cdot \sin \angle BOC}{\cfrac{1}{2} OA\cdot OD\cdot \sin \angle AOD} /\cfrac{\cfrac{1}{2} OB\cdot OC\cdot \sin \angle BOC}{\cfrac{1}{2} OB\cdot OD\cdot \sin \angle BOD}$
$=\cfrac{\sin \angle BOC}{\sin \angle AOD} /\cfrac{\sin \angle BOC}{\sin \angle BOD}$
2、$当交-1时，即\cfrac{\overrightarrow{AC} }{\overrightarrow{AD} } {\div} \cfrac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{BD}}=-1,即\cfrac{AC}{AD} =\cfrac{BC}{BD}时，$
此时，称 ACBD四点为调和点列，
$①A,B为基点，则C,D为内外分点，C,D调和分割A,B,且\cfrac{2}{AB} =\cfrac{1}{AC} +\cfrac{1}{AD}$
$证明：\because \cfrac{BC}{AC} =\cfrac{BD}{AD} \Rightarrow \cfrac{AB-AC}{AC} =\cfrac{AD-AB}{AD}\Rightarrow$
$\cfrac{AB}{AC}-1 =1-\cfrac{AB}{AD} \Rightarrow 2=\cfrac{AB}{AC}+\cfrac{AB}{AD} \Rightarrow \cfrac{2}{AB} =\cfrac{1}{AC} +\cfrac{1}{AD}$
$②C,D为基点，则B,A为内外分点，A,B调和分割C,D,且\cfrac{2}{CD} =\cfrac{1}{DA} +\cfrac{1}{DB}$
$证明:\because \cfrac{DB}{DA} =\cfrac{CB}{CA} \Rightarrow \cfrac{CA}{DA} =\cfrac{CB}{DB}$
$\Rightarrow \cfrac{DA-CD}{DA} =\cfrac{CD-DB}{DB}\Rightarrow 1- \cfrac{CD}{DA}=\cfrac{CD}{DB}-1\Rightarrow 2=\cfrac{CD}{DB}+\cfrac{CD}{DA}$