正切恒等式

${\color{Red}key: 若知道角所在的象限，及\sin \cos \tan 中的任意一个，另外两个便可求得。 } $
$若A+B+C=k\pi,则\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
利用诱导公式(互补公式)和两角和的正切公式证明:
${\color{Red} \because A+B+C=k\pi } \Rightarrow A+B=k\pi -C,\tan (A+B)=\tan (k\pi -C)=-\tan C$
${\color{Red} \therefore } \tan (A+B)=\cfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} =-\tan C,去分母，得$
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
应用于必一254页，例12

$解：\tan A:\tan B: \tan C=1:2:3 \Rightarrow 设比值为k,6k=6k^3,解k=0,\pm 1,k=1是唯一答案;\cfrac{1}{\sqrt{10} } $

$\frac{1 }{2}\tan A=\frac{1}{3}\tan B=\frac{1}{6}\tan C,设\tan A=2k,11k=36k^3,2k=\frac{\sqrt{11} }{3}$
$\tan A=\cfrac{\sqrt{11} }{3} \Rightarrow \sin 2A=\cfrac{3\sqrt{11} }{10} $

3与第一题一样
$\cfrac{\cos A}{ 6a} =\cfrac{\cos B}{3b} =\cfrac{\cos C}{2c} \Rightarrow 6\tan A=3\tan B=2\tan C$

$\Rightarrow 2\tan B=\tan C+\tan A\Rightarrow \tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$
3

$\tan A+\tan B+\tan C显然要将三个角化为一个角$。
$\sin A=2\sin B\sin C\Rightarrow \sin B \cos C+\cos B\sin C=2\sin B\sin C,显然要变成\tan ,那么两边除以\cos B\cos C$
$\Rightarrow \tan B+\tan C=2\tan B\tan C$
${\color{Red} \because \qquad } \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C{\color{Red} \Rightarrow } \tan A+2\tan B\tan C=\tan A\tan B\tan C$
$ \Rightarrow \tan A=(\tan A-2)\tan B\tan C$
$换元令\tan A=u,u=(u-2)\tan B\tan C\Rightarrow \tan B\tan C=\cfrac{u}{u-2} $
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C=u\cdot \cfrac{u}{u-2}$
$=\cfrac{(u-2+2)^2}{u-2}=u-2+\cfrac{4}{u-2}+4\ge 2\sqrt{4} +4$
C