倒等倒反的倒数函数与飘带函数

$f(x)=f(-x)\quad 偶函数$
$f(-x)=-f(x)\quad 奇函数$
$f(x)=f(\frac{1}{x} )\quad倒等$
$f(x)=-f(\frac{1}{x} )\quad倒反$
$f(x)+f(\frac{1}{x} )=k\quad$
常见的倒反函数
$①f(x)=\ln x \quad \quad\quad g(x)=\log_{a}{x}\qquad$
$②f(x)=\cfrac{x-1}{x+1} \quad\quad g(x)=\cfrac{x+1}{x-1} \qquad$
$③f(x)=\cfrac{1-x^2}{1+x^2}\quad\quad g(x)=\cfrac{x^2+1}{1-x^2}$
$④f(x)=x-\cfrac{1}{x}\quad\quad g(x)=x^n-\cfrac{1}{x^n}$
$⑤f(x)=a^x-a^{-\frac{1}{x} } \quad\quad g(x)=e^x-e^{-\frac{1}{x} }$
${\color{Red} 性质：倒反\quad f(x)+f(\cfrac{1}{x})=0} $
$倒反函数有个很好用的性质：因为f(x)+f(\cfrac{1}{x})=0,$
${\color{Red} 若有f(x)=0，必有f(\cfrac{1}{x})=0}$
倒等函数：
$f(x)=x+\cfrac{1}{x}$
$f(x)=x^n+\cfrac{1}{x^n}$
${\color{Red}性质：倒等\quad f(x)=f(\cfrac{1}{x}) } $

${\color{Green} 倒反来源} 必修一第100页，第3题，f(x)=\cfrac{1+x^2}{1-x^2},求证:f(-x)=f(x),\quad f(\cfrac{1}{x})=f(x)\quad (x\ne 0)$
${\color{Green} 飘带函数来源} 必修一第101页，第12题$
$(1)已知函数f(x)=\ln x+x-\cfrac{1}{x},若f(a)+f(b)=0,则a^2+b^2的最小值是(\quad )湖北四调$

$(2)已知函数f(x)=\cfrac{x}{1+x^2},对于任意x\in [\cfrac{1}{3},\cfrac{3}{5}]都有f(x)+f(4x-a)\le 0恒成立，$
$则实数a的取值范围(\quad)宁波十校第８题$
$A.[1,4]\quad B.[2,5]\quad C.[3,4]\quad D.[3,5]$
$解：奇函数\Rightarrow f(x)\le f(a-4x)画函数图像，x\lt 1，根据倒等关系，可得x\le a-4x\le \cfrac{1}{x}$
$5x\le a\le \cfrac{1}{x} +4x\Rightarrow 3\le a\le 4$

$(3).已知函数f(x)=x-\cfrac{1}{x}-a\ln x有三个零点，其中a\in \mathbb{R} ,则ax_1x_2x_3的取值范围(\quad )成都23年12题$
$A.(1,+\infty)\quad B.(2,+\infty)\quad C.(e,+\infty)\quad D.(3,+\infty)$
$(4)已知函数f(x)=\ln x-t(x-\cfrac{1}{x})有三个零点，则t的取值范围(\quad)衡水$
$A.(-1,0)\quad B.(0,\cfrac{1}{4})\quad C.(1,2) \quad D.(0,\cfrac{1}{2})$
$(5)已知函数f(x)=\cfrac{x}{x+2}-a\ln(x+1)有三个零点，则a的取值范围(\quad )河北九师联盟$
$KEY:2,C,B,D,(0,\cfrac{1}{2}) $
${\color{Red}飘带不等式 }$
${\color{Red} b\cdot\cfrac{x-1}{x+1}\lt \ln x \lt a\cdot(x-\cfrac{1}{x})}\quad x\gt 1时，a=\cfrac{1}{2},b=2是他们恒成立的临界条件，$
$即在x\gt 1时，a=\cfrac{1}{2},b=2是满足他们没交点的极限条件;或a\lt \cfrac{1}{2},且x\gt 1时$
$则飘带函数x-\cfrac{1}{x}与\ln x函数必有一个交点，即飘带函数x-\cfrac{1}{x}必定有一部分落在\ln x图像下方。详细证明见习题2$
$b\gt 2 ,且x\gt 1时飘带函数\cfrac{x-1}{x+1}必有一部分在\ln x图像上方。$
习题：
$(1)f(x)=2x-\cfrac{2}{x}+\ln x(x\gt 0)若f(m)+f(\cfrac{1}{n^2} ) ,则3m+\cfrac{1}{n^2}的最小值为(\quad)广东一模$
$(2)已知函数f(x)=x\ln x-a(x^2-1).$
$①讨论f(x)的零点个数；$
$②若f(x)有三个零点x_1,x_2,x_3，求\cfrac{1}{x_1} +\cfrac{1}{x_2} +\cfrac{1}{x_3} 的取值范围。$
$解：第一问题f(x)=x\ln x -a(x^2-1)\quad (x\gt 0)$
$令{\color{Red} g(x)=\cfrac{f(x)}{x} } ,{\color{Red} 若x_0是 方程f(x)=0的根，x_0必然也是 方程g(x)=0的根}$
$这样,求f(x)零点问题就转变成求g(x)零点问题了。$
${\color{Red} g(x)=\ln x-a(x-\cfrac{1}{x})} ,{g}' (x)=\cfrac{1}{x} -a(1+\cfrac{1}{x^2})=\cfrac{-ax^2+x-a}{x^2} $
$①若a\le 0,g'(x)\gt 0,则g(x)单调递增，无极值点。但因为g(1)=0,有唯一零点$
$②若a\gt 0$
$⒈当\Delta =1-4a^2\le 0,即a\ge \cfrac{1}{2}时， {g}' (x)\le 0 ,g(x)单减，g(x)无极值点。但g(1)=0，因此g(x)只有一个零点。$

$⒉当\Delta =1-4a^2\gt 0,即a\lt \cfrac{1}{2}时设x_1,x_2为导函数的两根,则\begin{cases} x_1+x_2= a\\ \quad x_1x_2=1 \end{cases}$

$若a\lt \cfrac{1}{2},{\color{Green} x_1x_2=1} ,两根互为倒数，不妨设x_1\lt 1\lt x_2$
$x\in (0,x_1)\cup (x_2,+\infty),{g}' (x)\lt 0,g(x)\searrow ;(x_1,x_2),{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow
g(x)在x_1处有极小值，x_2有极大值。$
$\lim_{x \to 0} g(x)=+\infty ,\lim_{x \to \infty} g(x)=-\infty$
$又\because x_1\lt 1,且g(1)=0,\therefore g(x_1)\lt 0,g(x_2)\gt 0,⒋所以，g(x)在x=1两侧及x=1各有一个零点,即共有三个零点$
$第二问：\forall x\in (0,+\infty),均有g(x)+g(\cfrac{1}{x})＝0$
$g(\cfrac{1}{x} ) =\ln \cfrac{1}{x}-a(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{\cfrac{1}{x} })=-\ln x+a(x-\cfrac{1}{x})\Rightarrow g(x)+g(\cfrac{1}{x})=0$
$\Rightarrow g(x)=0\Rightarrow g(\cfrac{1}{x} )=0,不妨设x_1=\cfrac{1}{x_3},则有x_2=1,\cfrac{1}{x_1}+ \cfrac{1}{x_2}+\cfrac{1}{x_3}\gt 1+2\sqrt{\cfrac{1}{x_1x_3} } (x_1\ne x_3)+3$
$所以\cfrac{1}{x_1} +\cfrac{1}{x_2} +\cfrac{1}{x_3} \in (3,+\infty)$

$(3)若函数f(x)=(x-1)\ln x-a(x+1)(a\in R)有且仅有两零点x_1,x_2，求证:\cfrac{1}{\ln x_1-a} +\cfrac{1}{\ln x_2-a}\gt 0$
$(4)已知\{a_n\}为正项的等比数列，且a_{1012}=1,若函数f(x)=\cfrac{x^2-1}{x}-2\ln x+1,则f(a_1)+f(a_2) +\dots +f(a_{2023})=(\quad )$
$A.2023\quad B.2024\quad C \cfrac{2023}{2} \quad D.1012 $
另外一题目：
$(5) 若a^x\ge \log_{a}{x} (a\gt 0,且a\ne 1)恒成立，则a的取值范围是(\quad )$
解：$①0\lt a\lt 1,有交点，显然不成立。$
$②a\gt 1时，左边是指数，右边是对数，阶层跨越了。添加一个幂函数作为桥梁。$
$a^x+{\color{Green} x} \ge {\color{Green} x} +\log_{a}{x} ={\color{Red} a^{\log_{a}{x}}} +\log_{a}{x}$
$构造函数f(x)=a^x+x (a\gt1,且x\gt 0)\Rightarrow \Rightarrow f(x)\ge f(\log_{a}{x} )$
$显然f(x)\nearrow \Rightarrow x\ge \log_{a}{x}$
$右边应用换底公式，换成ln，为什么不能两边取e为底的对数？$
$x\ge \cfrac{\ln x}{\ln a} \Rightarrow \ln a\ge {\color{Red} \cfrac{\ln x}{x} } $
$\ln a\ge ({\color{Red} \cfrac{\ln x}{x} } ){\color{Red} _{max}} =\cfrac{1}{e}$
$ln a\ge \cfrac{1}{e}\Rightarrow a\ge e^{\frac{1}{e} }$

$(6)已知函数f(x)=x\ln x-b\cfrac{(x^2-x)}{x+1} .$
$①讨论f(x)的零点个数；$
$②若f(x)有三个零点x_1,x_2,x_3，求\cfrac{1}{x_1} +\cfrac{1}{x_2} +\cfrac{1}{x_3} 的取值范围。$
$令{\color{Green} g(x)} =\cfrac{f(x)}{x}=\ln x -\cfrac{bx-b}{x+1}=\ln x +\cfrac{2b}{x+1} -b$
${g}'(x)=\cfrac{1}{x}-\cfrac{2b}{(x+1)^2}{\color{Green} =\cfrac{(x+1)^2-2bx}{x(x+1)^2} } $