二项式

“从n个不同元素中取出m个元素进行排列”这件事，可以分解成以下两个步骤：

第一步，从n个不同元素从取出m个元素，共有$C_n^m$种方法；

第二步，将每个组合中的m个元素进行全排列，共有$A_m^m$种方法。

分步乘法原理：$A_n^m=C_n ^m A_m^m$

$C_n ^m= \cfrac{A_n^m }{A_m^m}$

除以$A_m^m=m!$这一操作相当于除去了m个元素的顺序，即将m个“有序”的元素化为m个“ 无序”的元素。即消序！

不全相异元素的排列(多组组合）:$n_1个x_1,n_2个x_2,\dots ,n_k个x_k$，共有$n=n_1+n_2+\dots +n_k$个元素的全排列的个数为$\cfrac{n!}{n_1!n_2!\dots n_k!}$

证法一：先把这n个元素看作是互异的，它们的全排列是n!个，除去$n_1 个x_1的顺序n_1!,n_2 个x_2的顺序n_2!,\dots, n_k 个x_k的顺序n_k!$

证法二：将$n_1 个x_1，,n_2 个x_2,\dots, n_k 个x_k$进行全排列，可以分k步来完成：第1步，从n个位置中选出$n_1$个位置放置$x_1$,有$C_n^{n_1}$,第二步，人剩下的$n-n_1$个位置中选出$n_2$个放置$x_2$,依次类推。

特殊优先法：

对特殊元素、位置应优先分类考虑，其实就是分类原理；

当求某些元素相邻问题时，把需要相邻的元素捆绑，视为一组，再与其他元素排列组合，其中捆绑分为组合式捆绑（组内无顺序）和排列式捆绑（组内有顺序）。、

当求某些元素i不相邻问题时，先将其他元素排好，再将指定不相邻的元素插入已排好的元素的间隔或两端位置。

对于有限制条件的计数问题，除了直接计算，也可以先不考虑限制条件计算出所有种数，再减去不符合条件的种数。

缩倍法（消序法）：对于某几个元素定序的排列问题，可以先计算不考虑限制条件的所有种数，再将结果除以这几个元素的排列数，事实上，这就是分步计数原理和正难则反法的体现。

二项式定理是两个计数原理的直接应用，是微积分和概率的基础。

（１）我们必须明确展开式中的项是如何产生的：

因为$(a+b)^n=(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$,所以由多项式的乘法法则知，展开式是从n个括号中的每个括号里各取１个字母的一切可能乘积的和。

（２）我们要理解展开式中每一项的特征

展开式的每一项由若干个$a$ 和若干个$b$的乘积构成，并且$a$和$b$的个数之和为$n$;若我们设$b$的个数为$k$，则$a$的个数为$n-k$，即展开式中每一项的特征是$a^{n-k} b^k$,且展开式共有n+1种不同的项。

（３）我们要计算$a^{n-k} b^k$同类项的个数（系数）

因为在n个因式$(a+b)$中选出$k个（a+b）$有$C_n^k$种方法；而在这$k个(a+b)中取b$，在余下的$(a+b)中取a$，这样得到的乘积都是$a ^{n-k} b^k$,因此$a^{n-k} b^k$同类项的个数就是从n个因式(a+b)中选出k个(a+b)的组合数。