函数期中试

$1、{\color{Red} 已知f(x)=ax^2+(b+2)x是定义在[a-1,3a]上的偶函数，那么a+b的值是(\quad)}$

${\color{Green} 函数f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1}是定义在(-\infty,+\infty)上的奇函数，且f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}}$

$(1)求实数a,b, 并确定函数f(x) 的解析式;$

$(2)用定义法证明f(x)在(-1,1)上是增函数。$

${\color{Blue} 已知函数f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数，且当x\ge 0时，f(x)单调递增，则关于x的不等式f(x-1)\gt f(a)的解集是(\quad)}$

解：奇偶函数$\Rightarrow 定义域对称，a-1+2a=0\Rightarrow a=\frac{1}{3}$,偶函数右侧单增，左侧单减。$\because f(x-1)>f(a)\therefore |x-1|>\frac{1}{3},解得x<\frac{2}{3}或x>\frac{4}{3}(超过定义域，舍去)$故得$-\frac{2}{3}\le x<\frac{2}{3}$

3、${\color{Red}已知函数f(x)=\log_\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+1}),则不等式f(x+2)+f(1-2x)<0的解集是(\quad)}$

解：先证$f(x)$的奇偶性。$f(-x)=\log_\frac{1}{2}(-x+\sqrt{x^2+1})=log_\frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\log_\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=-f(x)$

$\therefore f(x)$是奇函数。令$t=x+\sqrt{x^2+1},f(t)=\log_\frac{1}{2}t,f(t)$是单调递减函数。t是单调递增函数。$\Rightarrow$复合函数$f(x)$是单调递减函数.

$f(x+2)+f(1-2x)<0\Rightarrow f(x+2)<-f(1-2x)=f(2x-1)\Rightarrow x+2<2x-1\Rightarrow x>3$

4、${\color{Green} 已知函数f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1},&-1<x<0\\ 2x,&x\ge0\end{cases},若实数a满足f(a)=f(a-1),则f(\frac{1}{a})=}(8)$

解：画分段函数图像$\Rightarrow 0<a<1,a-1<0,\Rightarrow 2a=\sqrt{a-1+1}\Rightarrow 4a^2=a,a=\frac{1}{4},\Rightarrow f(4)=8$

5、${\color{Blue} 已知函数f(x) =\begin{cases}(3a-1)x+4a,&x<1\\ \frac{a}{x},&x\ge 1\end{cases},在\mathbb{R}上是减函数，则a的取值范围是(\quad)}$

解：因为是$f(x)$减函数,$\Rightarrow \begin{cases}a>0\\3a-1<0\end{cases}$且在函数分段点处必然有左边值≥右边函数。即$3a-1+4a\ge a$

解得$\frac{1}{6}\le a<\frac{1}{3}$