数列通项不动点法原理

针对$a_{n+1}=f(a_n)=\cfrac{pa_b+q}{ra_n+s}\quad (p,s,r\ne 0)\quad $
${\color{Red}(1) } 若q=0,a_{n+1}=\cfrac{pa_b}{ra_n+s},\quad $倒数法
${\color{Red} (2) 不动点法}$
若$y=f(x)有f(x_0)=x_0,则x_0是y=f(x)$的不动点。
即法则$f仅对x_0$失效了，经过法则后，仍旧等于它本身。
${\color{Red} 不动点的性质：} f(x)-x=(x-x_0)\cdot A\quad$ (A是多项式)
证明：$\because x_0是y=f(x)的$不动点，
$\Rightarrow x_0是f(x)-x＝0$的根。
$\Rightarrow f(x)-x=(x-x_0)\cdot A$
针对数列$a_{n+1}=f(a_n),\quad若x_0是y=f(a_n)$的不动点，
$a_{n+1}-x_0=f(a_n)-x_0=(a_n-x_0)\cdot A$
$a_{n+1}=f(a_n)=\cfrac{pa_b+q}{ra_n+s}$对应特征方程：$x=\cfrac{px+q}{rx+s}$
若对应特征方程：$x=\cfrac{px+q}{rx+s}$有以下情况：
${\color{Red} ①} 有两个不相等的实根\alpha和 \beta ,则\{\cfrac{a_n-\alpha }{a_n-\beta } \}$为等比数列；
${\color{Red} ②} 有两个相等的实根\alpha，则\{\cfrac{1}{a_n-\alpha} \}$为等差数列；
${\color{Red} ③}$ 没有实根，则原$a_n$是周期数列。