数列几个常见题型

1、已知数列$\{a_n\}的前n项和为S_n，a_1=-\cfrac{9}{4} ,且4S_{n+1}=3S_n-9,求数列 \{a_n\}的通项公式：$
$a_n=\begin{cases} a_1,n=1;\\S_n-S_{n-1},n\ge2\end{cases}$
$\because \quad 4S_{n+1}=3S_n-9 \qquad(1)$
$\therefore n\ge 2 \qquad 4S_{n}=3S_{n-1}-9 \qquad(2)$
$(1)-(2)\quad 4a_{n+1}=3a_n \qquad a_{n+1}=\cfrac{3}{4} a_n\quad (*)$
由已知$4S_2=3S_1-9，代入a_1求得a_2=-\cfrac{27}{16} ,故有a_2=\cfrac{3}{4} a_1$
符合$(*)$式。

2、已知数列$\{a_n\}的前n项和为S_n，且a_1=-1,a_{n+1}=S_nS_{n+1},则S_n=$
$\because a_{n+1}=S_nS_{n+1}$时，
当$n\ge 2时，有a_n=S_{n-1}S_n$
两式相减，做不下去了。
$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$,得
$S_{n+1}-S_n=S_nS_{n+1},$两边除以$S_nS_{n+1}$

3、已知数列$\{a_n\}满足a_1=4,a_n=3a_{n-1}+8(n\ge2)$，求通项公式。
$a_n+x=3(a_{n-1}+x)$,亦可以用不动点法。
题型：
$a_n=pa_{n-1}+q\quad n\ge 2\qquad\qquad $
$a_n+x=p(a_{n-1}+x)$

4、已知数列$\{a_n\}满足a_1=4,a_n=3a_{n-1}+2n-1(n\ge2)$，求通项公式。
形如：$a_n=pa_{n-1}+kn+q\quad (p\ne 1,k\ne 0,n\ge 2)$
$\{a_n+x{\color{Red} n} +y\}等比数列\qquad\qquad $
$a_{\color{Red} n}+x{\color{Red} n} +y=p[a_{{\color{Red}n-1}}+x{\color{Red} (n-1)} +y]$

5、已知数列$\{a_n\}满足a_1=\cfrac{5}{6} ,a_{n+1}=\frac{1}{3} a_{n}+(\cfrac{1}{2})^{n+1} (n\ge2)，求数列\{a_n\}$通项公式。
解： 两边除以$a_n前面系数\cfrac{1}{3} 的最大下标n+1的次方。即(\cfrac{1}{3})^{n+1},{\color{Red} 即乘以3^{n+1}} $
$3^{n+1}a_{n+1}=3^{n+1}\cdot\frac{1}{3} \cdot a_{n}+3^{n+1} \cdot(\cfrac{1}{2})^{n+1}\Leftrightarrow3^{n+1}a_{n+1}=3^{n}\cdot a_{n}+(\cfrac{3}{2})^{n+1}$
$\Leftrightarrow 3^{n+1}a_{n+1}-3^{n}\cdot a_{n}=(\cfrac{3}{2})^{n+1}$
类似换元，令$b_n=3^{n}\cdot a_{n},\Rightarrow b_1=3\cdot \cfrac{5}{6} =\cfrac{5}{2} $
$b_{n+1}-b_n=(\cfrac{3}{2} )^{n+1}\qquad$
$b_2-b_1=(\cfrac{3}{2} )^2$
$b_3-b_2=(\cfrac{3}{2} )^3$
$b_4-b_3=(\cfrac{3}{2} )^4$
$\dots \dots $
$b_n-b_{n+1}=(\cfrac{3}{2} )^{n}$
$b_n-b_1=\cfrac{(\cfrac{3}{2})^2 -(\cfrac{3}{2} )^{n+1}}{1-\cfrac{3}{2} } =2[(\cfrac{3}{2})^{n+1}-\cfrac{9}{4} ]$
$b_n=2[(\cfrac{3}{2})^{n+1}-\cfrac{9}{4} ]+\cfrac{5}{2} =\cfrac{3^{n+1}}{2^n}-2$
$b_n=3^n\cdot a_n =\cfrac{3^{n+1}}{2^n}-2\quad\Rightarrow \quad a_n =\cfrac{3}{2^n}-\cfrac{2}{3^n}$

${\color{Red} [方法总结]} 对于形如a_{{\color{Green} n+1} }={\color{Green}p} a_n+q^n(p\ne0,且q\ne0,1)$的数列求通项公式有以下两种方法：
(1)两边除以${\color{Green} p^{n+1} }$,再累加求通项；
(2)构造等比数列$\{a_n+kq^n\}$
若$p=q$只有采用(1)