函数的图形变换

函数的图形变换

掌握函数图形变换，将打开解题方法新的一道门，这道门让你变得更加得心应手。*

知识点概要：

1、 平移变换；

2、 伸缩变换；

3、 翻转变换；

4、 对称变换；(其中的轴对称变换又叫反射变换，对称轴相当于平面镜)

注意：本文假定$a>0$

知识点一：平移变换性【考点】

水平平移：左加右减

$f(x)向左平移a个单位 ⇔f(x+a)$

$f(x)向右平移a个单位⇔f(x−a)$

竖直平移：上加下减

$f(x)向上平移a个单位⇔f(x)+a$

$f(x)向下平移a个单位⇔f(x)−a$

例： $f(x)=2^{3x}$如何移动得到如下函数

（1） $f(x)=2^{3x}+1$ 沿纵轴上移1单位

（2）$f(x)=2^{3x}−2$ 沿纵轴下移2单位

（3） $f(x)=2^{3(x−1)} $沿横轴右移1单位

（4） $f(x)=2^{3(x+1)}$ 沿横轴左移1单位

（5） $f(x)=2^{3x−6}$ 沿横轴右移2单位【易错】提取公因数$3(x-2)$

知识点二：伸缩变换【三角函数用的较多】

水平伸缩：$ f(x)⇒f(ax)$ 注意：函数与纵轴的交点不进行伸长或缩短

$0<a<1⇒$水平伸长为原来的$ \frac{1}{a} 倍$

a>1⇒ 水平缩短为原来的$\frac{1}{a}$倍

竖直伸缩：$f(x)⇒af(x)$

$0<a<1⇒$竖直伸长为原来的$a倍$

$a>1⇒$竖直缩短为原来的$a倍$

例： f(x)=sin⁡2x 如何伸缩得到如下函数:

（1）$f(x)=\sin ⁡x$ 水平伸长一倍,周期由$\pi变至2\pi$变大，伸长；变小则缩短。

（2）$f(x)=\sin⁡ 4x$ 水平缩小为原来的一半，周期由$\pi变至\frac{\pi}{2}$变小了一半。

（3） $f(x)=2\sin ⁡2x$ 竖直伸长一倍

（4） $f(x)=\frac{1}{2}sin⁡2x $竖直缩小为原来的一半

知识点三：翻转变换【考点】(翻转变换与绝对值有关)

$y=f(x)\Rightarrow y=|f(x)|$ ：下翻上,下不保留。

$y=f(x)\Rightarrow y=f(|x|)$：右翻左，右保留。

例：假设 $f(x)=(x−1)^2−1 $，请画出:

（1）$ g(x)=(|x|−1)^2−1$

（2） $h(x)=|(x−1)^2−1|$

解： f(x) 的图象为

(1)$g(x)=(|x|−1)^2−1$右翻左，如下图：（右侧不变，原左侧不保留，被右侧镜像复制代替）

（2） $h(x)=|(x−1)^2−1|$ 下翻上，如下图所示：（绿色部份）下不保留。

知识点四：对称变换【高效解题】

口诀：关于x轴对称变y，关于y轴对称变x，关于原点对称x和y都改变

（1）$ y=f(x) 与 y=−f(x)$ 关于x轴对称

（2） $y=f(x) 与 y=f(−x) $关于y 轴对称

（3） $y=f(x) 与 y=−f(−x)$ 关于原点对称

（4） $y=f(x) 与 y=f^{−1}(x)$ 关于y=x 对称

（5） $y=f(x) 与 y=−f^{−1}(−x)$ 关于y=−x对称(可忽略，不常用）

（6） $y=f(x) 与 y=f(2a−x) $关于 x=a 对称

例：已知 $y=2^x$请求出一下情况的解析式

（1） 关于x轴对称

（2） 关于y轴对称

（3） 关于原点对称

（4） 关于y=x轴对称

解析：（1） 关于x轴对称变y , $−y=2^x⇒y=−2^x$

（2） 关于y轴对称变x， $y=2^{−x}$

（3） 关于原点对称x和y都改变， $−y=2^{-x} ⇒y=−2^{−x}$

（4） x 与y对调即可， $x=2^y 两边取为底的对数\Rightarrow y=\log_{2}{x} $

知识点五：综合作图练习【高效解题】

例：请画出 $y=\frac{2−x}{x−1}$ 的图形

解：$ y=\frac{2−x}{x−1}=\frac{−(x−1)+1}{x−1}=\frac{1}{x−1}−1$

作图方式：$ y=\frac{1}{x}⇒y=\frac{1}{x−1}⇒y=\frac{1}{x−1}−1$

第一步: $y=\frac{1}{x}$

第二步:$y=\frac{1}{x}$中的x变成x-1，右移动1个单位，就是$ y=\frac{1}{x−1}$ 的图

第三步:$y=\frac{1}{x−1}$中向下平移一个单位，就是 $y=\frac{1}{x−1}−1$ 的图