1、快速计算平面向量的法向量：
坐标横写抄两遍；
掐头去尾取中间；
交叉相乘再相加。

2、数列技巧：
${\color{Red} (一)形如a_{n+1}=f(a_n),}$ 用不动点法，所谓不动点
对于函数$f(x)$,若存在实数$x_0$,使得$f(x_0)=x_0$,则称$x_0$是函数$f(x)$的(一阶)不动点。
同样地，若$f(f(x_0))=x_0,则称x_0是函数f(x)$的二阶不动点。
容易发现，对于一阶不动点$x=x_0,有f(f(x_0))=f(x_0)=x_0$,因此一阶不动点必然是二阶不动点
$a_{n+1}=f(a_n),令a_{n+1}=a_n=x，$

例1、$a_1＝1,a_{n+1}=\cfrac{1}{2}a_n+1$,求$a_n$的通项公式。
令$a_{n+1}=a_n=x\Rightarrow x=\cfrac{1}{2}x+1\Rightarrow x=2$
$a_{n+1}-2=\cfrac{1}{2} a_n+1-2\Rightarrow a_{n+1}-2=\cfrac{1}{2} (a_n-2)$
$\{a_n-2\}为等比q=\cfrac{1}{2} ，首项-1的等比数列。\quad$
$\therefore a_n=-1\cdot (\cfrac{1}{2} )^{n-1}+2$

例2、$a_1=3,a_{n+1}=\cfrac{4a_n-2}{a_n+1} ,a_n$的通项公式

令$a_{n+1}=a_n＝x,\Rightarrow x=\cfrac{4x-2}{x+1} \Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=1/2$
$a_{n+1}-1=\cfrac{4a_n-2}{a_n+1}-1=\cfrac{3a_n-3}{a_n+1}=\cfrac{3(a_n-1)}{a_n+1} \qquad \qquad ①$
$a_{n+1}-2=\cfrac{4a_n-2}{a_n+1}-2=\cfrac{2a_n-4}{a_n+1}=\cfrac{2(a_n-2)}{a_n+1}\qquad \qquad②$
$①/②\Rightarrow \cfrac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-2} =\cfrac{3}{2} \cdot \cfrac{a_n-1}{a_n-2} $

例3、$a_1=5,a_{n+1}=\cfrac{3a_n-4}{a_n-1} ,求a_n的通项公式；$

例4、$a_1=2,a_{n+1}=1-\cfrac{1}{a_n} ,求a_{2025}；$

${\color{Red} (二)若式中只有a_{n+2}\quad a_{n+1}\quad a_n,}$,用特征根法
例1、已知正数数列$\{a_n\}满足a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n,a_1=\cfrac{1}{2},a_2=\cfrac{3}{2} ,求a_n$的通项公式

${\color{Green} 设a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)} \qquad$
$ {\color{Green} \Rightarrow a_{n+2}=(p+q)a_{n+1}-p q\cdot a_n\Rightarrow \begin{cases} p+q=2\\-pq=3\end{cases}}$
$\Rightarrow \begin{cases} \quad p=3\\ \quad q=-1\end{cases}或\begin{cases} \quad p=－1\\ \quad q=3\end{cases}$
${\color{Red} 即p、q是方程x^2-2x-3=0的两根。} $
${\color{Green} 令a_{n+2}=x^2,a_{n+1}=x,a_n=1,} {\color{Blue} a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n} \Rightarrow {\color{Green} x^2-2x-3=0}$
我们把${\color{Green} x^2-2x-3=0} 称作 {\color{Blue} a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n}$的特征方程。

$f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )\quad (\omega \gt 0,\left | \varphi \right | \lt \cfrac{\pi}{2})的图像如图所示，f(x)$

显然$Ａ=2,f(0)＝1$
$f(0)=1\Rightarrow \varphi=\cfrac{\pi}{6} ，故f(x)=2\sin (\omega x+\cfrac{\pi}{6})，令f(x)=0\Rightarrow \omega x+\cfrac{\pi}{6}=0 $
$\Rightarrow x=-\cfrac{\pi}{6\omega } \Rightarrow -\cfrac{\pi}{6\omega } -(-\pi)=\cfrac{T}{4} =\cfrac{2\pi}{4\omega }$
$\Rightarrow \pi=\cfrac{\pi}{2\omega } +\cfrac{\pi}{6\omega }\Rightarrow \omega =\cfrac{2}{3} $
$\therefore \quad f(x)=2\sin ( \cfrac{2}{3} x+\cfrac{\pi}{6})$

1、已知数列$\{a_n\}的前n项和为S_n，a_1=-\cfrac{9}{4} ,且4S_{n+1}=3S_n-9,求数列 \{a_n\}的通项公式：$
$a_n=\begin{cases} a_1,n=1;\\S_n-S_{n-1},n\ge2\end{cases}$
$\because \quad 4S_{n+1}=3S_n-9 \qquad(1)$
$\therefore n\ge 2 \qquad 4S_{n}=3S_{n-1}-9 \qquad(2)$
$(1)-(2)\quad 4a_{n+1}=3a_n \qquad a_{n+1}=\cfrac{3}{4} a_n\quad (*)$
由已知$4S_2=3S_1-9，代入a_1求得a_2=-\cfrac{27}{16} ,故有a_2=\cfrac{3}{4} a_1$
符合$(*)$式。

2、已知数列$\{a_n\}的前n项和为S_n，且a_1=-1,a_{n+1}=S_nS_{n+1},则S_n=$
$\because a_{n+1}=S_nS_{n+1}$时，
当$n\ge 2时，有a_n=S_{n-1}S_n$
两式相减，做不下去了。
$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$,得
$S_{n+1}-S_n=S_nS_{n+1},$两边除以$S_nS_{n+1}$

3、已知数列$\{a_n\}满足a_1=4,a_n=3a_{n-1}+8(n\ge2)$，求通项公式。
$a_n+x=3(a_{n-1}+x)$,亦可以用不动点法。
题型：
$a_n=pa_{n-1}+q\quad n\ge 2\qquad\qquad $
$a_n+x=p(a_{n-1}+x)$

4、已知数列$\{a_n\}满足a_1=4,a_n=3a_{n-1}+2n-1(n\ge2)$，求通项公式。
形如：$a_n=pa_{n-1}+kn+q\quad (p\ne 1,k\ne 0,n\ge 2)$
$\{a_n+x{\color{Red} n} +y\}等比数列\qquad\qquad $
$a_{\color{Red} n}+x{\color{Red} n} +y=p[a_{{\color{Red}n-1}}+x{\color{Red} (n-1)} +y]$

5、已知数列$\{a_n\}满足a_1=\cfrac{5}{6} ,a_{n+1}=\frac{1}{3} a_{n}+(\cfrac{1}{2})^{n+1} (n\ge2)，求数列\{a_n\}$通项公式。
解： 两边除以$a_n前面系数\cfrac{1}{3} 的最大下标n+1的次方。即(\cfrac{1}{3})^{n+1},{\color{Red} 即乘以3^{n+1}} $
$3^{n+1}a_{n+1}=3^{n+1}\cdot\frac{1}{3} \cdot a_{n}+3^{n+1} \cdot(\cfrac{1}{2})^{n+1}\Leftrightarrow3^{n+1}a_{n+1}=3^{n}\cdot a_{n}+(\cfrac{3}{2})^{n+1}$
$\Leftrightarrow 3^{n+1}a_{n+1}-3^{n}\cdot a_{n}=(\cfrac{3}{2})^{n+1}$
类似换元，令$b_n=3^{n}\cdot a_{n},\Rightarrow b_1=3\cdot \cfrac{5}{6} =\cfrac{5}{2} $
$b_{n+1}-b_n=(\cfrac{3}{2} )^{n+1}\qquad$
$b_2-b_1=(\cfrac{3}{2} )^2$
$b_3-b_2=(\cfrac{3}{2} )^3$
$b_4-b_3=(\cfrac{3}{2} )^4$
$\dots \dots $
$b_n-b_{n+1}=(\cfrac{3}{2} )^{n}$
$b_n-b_1=\cfrac{(\cfrac{3}{2})^2 -(\cfrac{3}{2} )^{n+1}}{1-\cfrac{3}{2} } =2[(\cfrac{3}{2})^{n+1}-\cfrac{9}{4} ]$
$b_n=2[(\cfrac{3}{2})^{n+1}-\cfrac{9}{4} ]+\cfrac{5}{2} =\cfrac{3^{n+1}}{2^n}-2$
$b_n=3^n\cdot a_n =\cfrac{3^{n+1}}{2^n}-2\quad\Rightarrow \quad a_n =\cfrac{3}{2^n}-\cfrac{2}{3^n}$

${\color{Red} [方法总结]} 对于形如a_{{\color{Green} n+1} }={\color{Green}p} a_n+q^n(p\ne0,且q\ne0,1)$的数列求通项公式有以下两种方法：
(1)两边除以${\color{Green} p^{n+1} }$,再累加求通项；
(2)构造等比数列$\{a_n+kq^n\}$
若$p=q$只有采用(1)