必修二狂K，26页：

$对于A球有:F_A=0.5m\omega ^2r,\quad f_{Am}=0.5\mu mg,\quad w_{Am}=\sqrt{\cfrac{\mu g}{r}}$​

$对于B球有:F_B=2m\omega ^2r,\quad f_{Bm}=\mu mg,\qquad w_{Bm}=\sqrt{\cfrac{\mu g}{2r}}$​​​

$①\quad 0\lt \omega \lt \sqrt{\cfrac{\mu g}{2r}}时,对于A有，f_静=F_向=0.5m\omega ^2r,向心；$

$\qquad \qquad\qquad 对于B有，f_静=F_向=2m\omega ^2r,向心.$

向心力由静摩擦力提供，即随着角速度的增加，向心力和静摩擦力逐渐增大，且Ｂ的为Ａ的４倍。

$②\quad \omega =\sqrt{\cfrac{\mu g}{2r}}时，对于Ａ有f_静＝F_向＝\cfrac{1}{4}\mu mg，方向向心$

$\qquad \qquad\qquad 对于B有，f_静=f_动＝F_向=\mu mg ,方向向心.$

$③\quad \sqrt{\cfrac{\mu g}{2r}} \lt \omega \lt \sqrt{\cfrac{2\mu g}{3r}} ，此时细线拉力从零开始逐渐增大到\cfrac{1}{3}\mu mg$

$对于B有：F_{B向}=2m\omega ^2r＝F_拉+Ｆ_{静m}=F_拉+\mu mg\Rightarrow F_拉=2m \omega^2 r-\mu mg\quad ①$

$由上式可知，此过程，Ｂ的最大静摩擦力不变，所需要增加的向心力由细线的拉力提供，$

$Ａ与Ｂ之间的拉力相等，均指向圆心。Ａ,B所需要的向心力也随着角速度的增大而增大，$

$F_{A向}＝0.5m\omega^2 r,但A所需增加的向心力仅为B的\cfrac{1}{4},A多余的拉力逐渐增加导致A的静摩擦力逐渐减小$​

$\Rightarrow F_{A向}=F_拉-F_{A静}=0.5m\omega^2 r\quad ②$

$④\quad 当 F_{A静}=0，即②=①,解得\omega =\sqrt{\cfrac{2\mu g}{3r}}时，$

$对于Ｂ有:F_{B向}=2m\omega^2r＝2m\cfrac{2\mu g}{3r}r=\cfrac{4}{3}\mu mg=F_{拉}+\mu mg$

$\Rightarrow F_拉＝\cfrac{1}{3}\mu mg$

$对于A有:F_{A向}=\cfrac{1}{2}m\omega^2r=\cfrac{1}{2}m\cfrac{2\mu g}{3r} r=\cfrac{1}{3}\mu mg=F_拉,$

$此时A的向心力恰好等于细线的拉力，故此时,A的静摩擦力为零。$

$⑤\quad 当\sqrt{\cfrac{2\mu g}{3r}} \lt \omega \lt \sqrt{\cfrac{\mu g}{r}}时,细线拉力由\cfrac{1}{3}\mu mg \lt F_{拉}\lt \mu mg$

$对于B的向心力由\cfrac{4}{3}\mu mg \lt F_{Bn}=F_拉+f_{B静}＝F_拉+\mu mg\lt 2\mu mg$

$对于A的向心力由\Rightarrow F_{A向}=F_拉-F_{A静}=\cfrac{1}{2}m\omega^2 r\quad ③$

$\cfrac{1}{3}\mu mg\lt F_{A向}\lt \cfrac{1}{2}\mu mg;\qquad 0\lt F_{A静}\lt \cfrac{1}{2}\mu mg,\quad 静摩擦力方向沿半径背离圆心$

$⑥当\omega \ge \sqrt{\cfrac{\mu g}{r}}时,此时A达到最大静摩擦力，A开始滑动，并且会带动B滑动$

$此时对应的细线张力为T=\mu mg ,圆盘的角速度为\sqrt{\cfrac{gr}{r}}$

$此时烧断细线，细线的张力消失，但A与圆盘的静摩擦力仍可维持A的圆周运动，$

$只是静摩擦力方向改变即可,但B的静摩擦力不足矣维持B的圆周运动。$

狂K38页例题

$环绕法:\cfrac{GMm}{r^3}=m \cfrac{3\pi^2 }{T^2}r\Rightarrow M=\cfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}=\rho \cfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow \rho =\cfrac{3\pi}{GT^2},D选正确$

$\begin{cases} \rho \cfrac{4}{3} \pi r^3=M \\ G\cfrac{Mm}{r^2}=mg_0 \\ G\cfrac{Mm}{r^2}-mg=m\cfrac{4\pi^2}{T^2}r\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} g_0-g=\cfrac{4\pi ^2}{T^2}r \\ M=\cfrac{g_0r^2}{G} \\ \rho= \cfrac{3M}{4\pi r^3}\end{cases}$

$\Rightarrow \rho =\cfrac{3g_0}{4\pi Gr}=\cfrac{3g_0}{4\pi G}\cdot \cfrac{4\pi^2}{T^2(g_0-g)}=\cfrac{3\pi g_0}{GT^2(g_0-g)}$

双星问题：
$在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的圆周运动的星球称为双星。$$只能求两者的总质量，求不出单个星球的质量。$
$天体运动优化为匀速圆周运动，它有一个关键的等量关系，即\omega与T,f,n是同一约束条件!$
$天体运动优化为匀速圆周运动，它有一个关键的等量关系，即\omega与T,f,n是同一约束条件!$
$天体运动优化为匀速圆周运动，它有一个关键的等量关系，即\omega与T,f,n是同一约束条件!$
$\begin{cases} 对m_1:G\cfrac{m_1m_2}{L^2}=m_1\omega^2r_1\quad \\对m_2:G\cfrac{m_1m_2}{L^2}=m_2\omega^2r_2\quad \\r_1+r_2=L\qquad \quad \end{cases}\Rightarrow m_1r_1=m_2r_2$
$\Rightarrow r_1=\cfrac{m_2}{m_1} r_2,r_1+r_2=\cfrac{m_2}{m_1} r_2+r_2=L\Rightarrow r_2=\cfrac{m_1}{m_1+m_2}L$
$\Rightarrow G\cfrac{m_1m_2}{L^2}=m_2\omega^2 \cdot \cfrac{m_1}{m_1+m_2}L\Rightarrow \omega =\sqrt{\cfrac{G(m_1+m_2)}{L^3} } $
$T =2\pi \sqrt{\cfrac{L^3}{G(m_1+m_2)} } ,v_1=\omega r_1=r_1\sqrt{\cfrac{G(m_1+m_2)}{L^3} },v_2=r_2\sqrt{\cfrac{G(m_1+m_2)}{L^3} }$
$T =2\pi \sqrt{\cfrac{L^3}{G(m_1+m_2)} } ，两边平方得m_1+m_2=\cfrac{4\pi^2L^3}{GT^2}$

$如果与杆相对静止的人认为杆长是l0，与杆相对运动的人认为杆长是l，那么两者之间的关系是$
$l=\cfrac{l_0}{\sqrt{1-(\cfrac{v}{c})^2}}\qquad $（1）

时间间隔的相对性
经典物理学认为，某两个事件，在不同的惯性参考系中观察，它们的时间间隔总是相同的。例如，一个单摆从一端摆到另一端，守候在旁进行实验的人测得所用的时间是1 s，那么乘坐飞机经过实验室上空的人测得的时间间隔一定也是1 s。但是，在相对论物理学看来，两者测得的时间并不一样。
还以高速列车为例。假定车厢安装着一个墨水罐，它每隔一定时间滴出一滴墨水。车上的人测得，墨水在t1ʹ、t2ʹ两个时刻在地面形成P、Q两个墨点，也就是说发生了两个事件。车上的人认为两个事件的时间间隔是
$$\Delta \tau =t_2'-t_1'$$
地面观察者洌得的时间间隔为$根据（1）式，通过一定的数学推导可以得到 \Delta t=t_2-t_1$
根据（１）式，通过一定的数学推导可以得到$\Delta t=\cfrac{\Delta \tau}{\sqrt{1-(\cfrac{v}{c})^2}}\qquad $（2）
t2ʹ－t1ʹ表示与墨水罐（墨水罐可以看做一个钟表）相对静止的观察者测得的时间间隔，本来可以用Δtʹ表示，或者仿照前面讨论长度的相对性时用到的符号，用$Δt_0$表示。但在相对论中，习惯上把与“钟表”相对静止的观察者测得的时间间隔用Δτ表示。
可以设想，飞船上有一只表，在航天员看来，表针走过一个小格所用的时间为Δτ。飞船与地面的相对速度是v，根据（2）式，地面的人认为表针走过一个小格的时间为Δt，比Δτ大。
从地面上观察，飞船上的时间进程比地面上慢。由于飞船在运动，船上的一切物理、化学过程和生命过程都变慢了：时钟走得慢了，化学反应慢了，甚至人的动作、人的新陈代谢也变慢了……可是飞船上的人自己没有这种感觉，他们反而认为地面上的时间进程比飞船**上的慢，因为他们看到，地面正以同样的速度朝相反的方向运动！
一个学说，总是先以有限数量的事实为基础提出科学的假设，然后依据这些假设进行逻辑推理，得出结论。只有在大量结论都与事实相符时，这个学说才能成为理论。**